Defaults in deduktiven Datenbanken

30 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENDefinition 2.2.4 (Default-Ausprägungen): Sei ∆ eine Menge von Defaults einerdeduktiven Datenbank mit Signatur Σ. Dann sei ∆ ∗ die Menge der variablenfreien Σ-Formeln, die aus Formeln aus ∆ entstehen, indem die Variablen durch Konstanten passenderSorte ersetzt werden.Die für die Default-Regeln spezifizierten Prioritäten werden auf die Ausprägungen vererbt.Dabei tritt noch das Problem auf, daß eine Default-Ausprägung zu mehreren Default-Regeln gehören kann, was eventuell die Eigenschaft der partiellen Ordnung zerstört. DerEinfachheit halber wurde dieser Fall hier ausgeschlossen (in Definition 2.2.2). Dies istkeine wesentliche Einschränkung, da man diese Bedingung etwa durch Anhängen von“∨false“ erreichen kann.Definition 2.2.5 (Prioritäten auf Default-Ausprägungen): Eine Prioritätsrelation❁ auf ∆ wird folgendermaßen auf ∆ ∗ erweitert: Sind δ1 ∗ und δ2 ∗ Ausprägungen von δ 1und δ 2 , so gelte δ1 ∗ ❁ δ2 ∗ ⇐⇒ δ 1 ❁ δ 2 .Man beachte, daß δ ∗ 1 und δ ∗ 2 nicht über dieselbe Substitution definiert sein müssen; dieVariablen werden also lokal zu den Defaults interpretiert. Es könnte allerdings nützlichsein, für bestimmte Variablen die gleiche Einsetzung auf beiden Seiten zu verlangen.Es ist auch nicht selbstverständlich, daß die Ausprägungen einer Default-Regel alledieselbe Priorität haben. So sollte die Rahmenregel bei zeitlichen Änderungen im Zweifelsfalleher für frühere Zustandsübergänge angenommen werden (siehe Kapitel 3).Modelltheoretische VervollständigungenDie Semantik einer Menge von Default-Regeln mit Prioritäten ist eine Vervollständigung.Die Abbildung von einer Default-Spezifikation auf eine bestimmte Vervollständigung istGegenstand späterer Kapitel (insbesondere Kapitel 5). In diesem Abschnitt soll nunzunächst der semantische Bereich aller Vervollständigungen untersucht werden.Was ist also eine Vervollständigung? Modelltheoretisch gesehen, beschreibt die Mengeder Axiome Φ eine Menge I von Σ-Interpretationen. Davon wählen die Defaults eineTeilmenge aus, die intendierten Modelle, die die Defaults am besten erfüllen.Wenn man die Semantik der Defaults unabhängig von den Axiomen beschreiben will,also die Axiome Φ als variabel ansieht, dann ist eine Vervollständigung eine Auswahlfunktionauf den Σ-Interpretationen: Die Eingabe sind die Modelle I von Φ, die Ausgabesind die intendierten Modelle:Eine modelltheoreti-Definition 2.2.6 (Modelltheoretische Vervollständigung):sche Vervollständigung ist eine Abbildung sel: 2 I Σ→ 2 I Σmit• sel(I) ⊆ I für alle I ⊆ I Σ ( kein Informationsverlust“).”