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2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 23• Ist ϕ eine negierte Formel mit Teilformel ϕ 0 , so gilt(I, α) |= ϕ ⇐⇒ (I, α) ̸|= ϕ 0 =⇒ (I ′ , α ′ ) ̸|= ϕ 0 ⇐⇒ (I ′ , α ′ ) |= ϕ,wobei im mittleren Schritt gerade die Induktionsannahme verwendet wurde (es ist jaU − (ϕ 0 ) = U + (ϕ)).• Sei ϕ eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∧ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 . NachVoraussetzung gelten beide Teilformeln in (I, α). Ist X ∉ U + (ϕ), so ist wegenU + (ϕ) = U + (ϕ 1 ) ∪ U + (ϕ 2 )natürlich X ∉ U + (ϕ 1 ) und X ∉ U + (ϕ 2 ). Die Induktionsannahme kann dann ganz direktverwendet werden.• Sei ϕ nun eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∨ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 . NachVorausetzung gilt eine der beiden Teilformeln in (I, α), etwa ϕ 1 . Für alle Variablen Xmit α ′ (X) ≠ α(X) gilt nach Voraussetzung α ′ (X) ∈ C ′ − C und X ∉ U + (ϕ). Gilt auchX ∉ U + (ϕ 1 ) für alle solchen X, so kann man direkt die Induktionsannahme anwenden.Falls dies aber nicht gilt, so folgt X ∈ ( B + (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ) ) (nach der Definition von U + ).Nun liefert aber Lemma 2.1.20, daß die betreffende Teilformel in (I ′ , α ′ ) gilt, und damitnatürlich auch die Disjunktion.• Der Beweis für die übrigen Junktoren verläuft analog.Satz 2.1.22: Seien Σ ⊆ Σ ′ , Φ eine Menge von bereichsbeschränkten Σ-Formeln, I einΣ-Herbrandmodell von Φ und I ′ eine Standard-Erweiterung von I auf Σ ′ . Dann ist I ′ einModell von Φ.Beweis: Zu zeigen ist (I ′ , α ′ ) |= ϕ für alle ϕ ∈ Φ und alle Variablenbelegungen α ′ zu I ′ . Sei αeine Variablenbelegung zu I mit α(X) = α ′ (X) für alle X mit α ′ (X) ∈ C. Nach Voraussetzunggilt (I, α) |= ϕ und U + (ϕ) = ∅, daher liefert die erste Aussage von Lemma 2.1.21 die Behauptung(I ′ , α ′ ) |= ϕ. ✷Korollar 2.1.23: Sei Φ eine konsistente Menge bereichsbeschränkter Formeln und ψeine negativ stark bereichsbeschränkte Formel. Gilt Φ ⊢ ψ, so ist ψ variablenfrei.Beweis: Angenommen, ψ enthält eine freie Variable X. Dann ist nach VoraussetzungX ∈ B − (ψ). Als konsistente Menge quantorenfreier Formeln hat Φ ein Σ-Herbrandmodell I.Entstehe nun Σ ′ aus Σ durch Hinzufügen einer Konstante c. Nach Satz 2.1.22 ist die Standard-Erweiterung I ′ von I auf Σ ′ Modell von Φ. Sei α ′ nun eine beliebige Variablenblegung mitα ′ (X) := c. Dann gilt nach Lemma 2.1.20: (I ′ , α ′ ) ̸|= ψ. Vergißt“ man nun die Interpretation”von c, so hat man ein Σ-Modell von Φ (kein Herbrandmodell), das nicht Modell von ψ ist, undes folgt Φ ⊬ ψ.✷Natürlich ist der hier eingeführte Begriff von ”bereichsbeschränkter Formel“ nicht dieeinzige Möglichkeit, und in mancher Hinsicht ist er noch recht einschränkend. Verbesserungenhinsichtlich der Praxisnähe würden aber wohl zu noch komplizierteren Definitionenführen. In dieser Arbeit werden daher im folgenden nur einige Beispiele aufgelistet, diepraktische Systeme behandeln können sollten.✷