Defaults in deduktiven Datenbanken

38 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENIn der anderen Richtung ist noch zu zeigen, daß vervollständigte Folgerungsrelationennicht allgemeiner sind als die anderen beiden Arten von Vervollständigungen, daß esalso zu jeder vervollständigten Folgerungsrelation auch eine passende modelltheoretischebzw. syntaktische Vervollständigung gibt.Lemma 2.2.13:• Für jede vervollständigte Folgerungsrelation ⊢ c gibt es eine modelltheoretische Vervollständigungsel mit ⊢ c sel = ⊢ c .• Für jede vervollständigte Folgerungsrelation ⊢ c gibt es eine syntaktische Vervollständigungcomp mit ⊢ c comp = ⊢ c .Beweis:• Sei sel definiert durch:sel(I) := Mod ( {ψ ′ ∈ L Σ ∗ | Th(I) ⊢ c ψ ′ } ) ∩ I.(Der Schnitt mit I ist nötig, denn solange unendliche Modelle betrachtet werden, kannnicht vorausgesetzt werden, daß Mod ( Th(I) ) = I gilt.)Falls Φ ⊢ c ψ, folgt aus der Konstruktion von sel sofort Φ ⊢ c sel ψ: Da Th( Mod(Φ) ) ∼ = Φauch bei unendlichen Modellen gilt, damit vereinfacht sich die Definition zusel ( Mod(Φ) ) = Mod ( {ψ ′ ∈ L Σ ∗ | Φ ⊢ c ψ ′ } ∪ Φ ) ,also gilt sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ).Gilt umgekehrt Φ ⊢ c selψ, so bedeutet das nach der KonstruktionΦ ∪ {ψ ′ ∈ L Σ ∗ | Φ ⊢ c ψ ′ } ⊢ ψ.Nach dem Kompaktheitssatz gibt es dann aber schon eine endliche Teilmenge{ψ ′ 1, . . . , ψ ′ n} ⊆ {ψ ′ ∈ L Σ ∗ | Φ ⊢ c ψ ′ }mit {ψ ′ 1 , . . . , ψ′ n} ⊢ ψ. (Die Formeln aus Φ sind tatsächlich nicht nötig, ihre Grundbeispieleaus L Σ ∗ reichen aus, da ja eine variablenfreie Formel abgeleitet werden soll.) Dann folgtaber aus dem Abschluß von ⊢ c unter ∧ und ⊢, daß Φ ⊢ c ψ.• Die Konstruktion einer entsprechenden syntaktischen Vervollständigung funktioniert ganzähnlich:comp(Φ) = {ψ ′ ∈ L Σ ∗ | Φ ⊢ c ψ ′ } ∪ Φ.Gilt also Φ ⊢ c ψ, so ist ψ ∈ comp(Φ), und daher gilt Φ ⊢ c comp ψ. Der umgekehrte Schlußfunktioniert wie oben mit dem Kompaktheitssatz und dem Abschluß von ⊢ c unter ∧ und ⊢.✷Daher muß jetzt nicht mehr zwischen den verschiedenen Formalisierungen des Begriffsder Vervollständigung unterschieden werden, jede ist gleichermaßen als Bedeutung einerDefault-Spezifikation (∆, ❁) geeignet. Gegenstand der Untersuchungen in dieser Arbeitsind jetzt aber nicht so sehr einzelne Vervollständigungen, als vielmehr die Beziehungzwischen Default-Spezifikationen und Vervollständigungen: