Defaults in deduktiven Datenbanken

5.2. DIE VORSICHTIGE CWA 109I 0 ̸|= δ. Also muß es δ ′ ∈ ∆ ′ geben mit δ ′ ❁ δ. Nach Konstruktion gilt I 0 |= δ ′ und I ̸|= δ ′ .Daher ist I 0 ≺ (∆,❁) I im Widerspruch zur vorausgesetzten Minimalität von I. ✷Hieraus folgt sofort, daß der skeptische Ansatz der minimalen Implikation entspricht,d.h. eine Formel ψ gilt in allen minimalen Modellen von Φ genau dann wenn Φ ∪ E ⊢ ψfür alle maximalen Extensionen E von Φ.Der vorangegangene Satz liefert auch eine alternative Definition der vorsichtigenCWA: Sie nimmt diejenigen Defaults an, die in allen maximalen Extensionen enthaltensind, also in allen minimalen Modellen gelten.Satz 5.2.16:Beweis:cwa (∆,❁) (Φ) = Φ ∪ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I |= δ für alle ≺ (∆,❁) -minimalen Modelle von Φ } .• ”⊆“: Sei δ also in allen maximalen Extensionen enthalten und sei I ein ≺ (∆,❁) -minimalesModell von Φ. Da die in I gültigen Defaults nach Satz 5.2.15 eine maximale Extensionbilden, muß δ auch in I gelten.• ”⊇“: Sei δ also in allen minimalen Modellen von Φ gültig. Zu zeigen ist, daß δ in jedermaximalen Extension E enthalten ist. Aufgrund der Konsistenzforderung gibt es ein ModellI von Φ ∪ E, das nach Satz 5.2.15 minimal ist. Also gilt δ in I. Wäre nun δ ∉ E, sowäre die Maximalitätsforderung verletzt, da Φ ∪ E ∪ {δ} konsistent ist (I is ein Modell).✷Damit kann man jetzt leicht die Vervollständigungs-Stärke der beiden Default-Semantikenvergleichen:Satz 5.2.17: Die vorsichtige CWA ist eine schwächere Vervollständigung als die minimalenModelle, d.h. Φ ⊢ cwa(∆,❁) ψ =⇒ Φ ⊢ min(∆,❁) ψ.Beweis: Da nur solche Defaults angenommen werden, die in allen minimalen Modellen gelten,ist jedes minimale Modell ein Modell der vorsichtigen CWA. Wenn also schon jedes Modellder vorsichtigen CWA die Anfrage ψ erfüllt, so gilt das natürlich erst recht für jedes minimaleModell.✷Die hier angegebenen Sätze sind Verallgemeinerungen von Ergebnissen aus [BL89], dieihrerseits auf [Min82] aufbauen.EigenschaftenSatz 5.2.18:• cwa (∆,❁) ist konsistenzerhaltend (CON).• cwa (∆,❁) ist kumulierend (CUM).• cwa (∆,❁) hat die NCWA-Eigenschaft (NCWA).• cwa (∆,❁) hat die Disjunktions-Eigenschaft für Defaults (DDIS).