Defaults in deduktiven Datenbanken

90 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSgegeben, daß tweety nicht fliegen kann, dann ist I 1 ausgeschlossen und I 2 ein intendiertesModell.Dieses Beispiel entspricht natürlich gerade der Ordnung, die durch den Default ”Vögelkönnen normalerweise fliegen“ gegeben wäre. In diesem Abschnitt werden daher einerseitsallgemeine Präferenzrelationen ≺ betrachtet, und andererseits die durch eine Menge vonDefaults gegebene Ordnung ≺ ∆ . Später werden dann auch Ordnungen für Defaults mitPrioritäten eingeführt, wobei die allgemeinen Resultate weiterhin gültig bleiben.Definition 5.1.1 (Ordnungsrelation zu einer Menge von Defaults): Die zu einerMenge ∆ von Defaults gehörige Ordnungsrelation ≺ ∆ auf den Herbrandmodellen istI 1 ≺ ∆ I 2 :⇐⇒ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 1 |= δ } ⊃ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 2 |= δ } .Definition 5.1.2 (Minimale Modelle): Sei ≺ eine transitive und irreflexive Relationauf den Herbrand-Interpretationen I Σ . Dann ist die modelltheoretische Vervollständigungmin ≺ definiert durchmin ≺ (I) := {I ∈ I | es gibt kein I 0 ∈ I mit I 0 ≺ I}.Für eine Menge ∆ von Defaults sei min ∆ := min ≺∆ .Natürlich könnte man die Ordnungsrelation auch umdrehen und dann entsprechend vonmaximalen Modellen“ sprechen. Der Name minimale Modelle hat sich aber eingebürgert,”weil die typischen Defaults Negationen sind. Dann interpretiert ein Modell, was maximalviele Defaults erfüllt, die Prädikate gerade durch minimale Relationen.Minimale Modelle in diesem Sinne wurden in [Dav80, McC80] eingeführt. Ein abstrakterAnsatz mit beliebigen Präferenzrelationen wurde in [Sho87] vorgeschlagen. DieBeziehung zwischen Defaults und Ordnungsrelationen wurde in [BL89] ausführlich untersucht.Beziehung zwischen Ordnungsrelationen und DefaultsOben wurde definiert, welche Ordnungsrelation durch eine Menge von Defaults beschriebenist. Tatsächlich kann man aber auch umgekehrt zu einer gegebenen Ordnungsrelationeine Menge von Defaults konstruieren (unter den hier zugrundeliegenden Endlichkeitsannahmen).Das bedeutet, daß beliebige Ordnungsrelationen durch Defaults beschriebenwerden können:Lemma 5.1.3: Zu jeder partiellen Ordnung ≺ auf den Herbrand-Interpretationen gibtes eine Menge ∆ von Defaults, so daß ≺ = ≺ ∆ .Beweis: Für jedes Herbrandmodell I sei δ I := th ( {I} ∪ {I ′ ∈ I Σ | I ′ ≺ I} ) . Dann sei diezu konstruierende Menge von Defaults: ∆ := {δ I | I ∈ I Σ }. Diese Defaults sind variablenfreieFormeln, es gilt also ∆ ∗ = ∆.