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2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 25Definition 2.1.25 (Klausel): Eine Σ-Klausel besteht aus einer Variablendeklaration Ξund einer endlichen Menge von (Σ, Ξ)-Literalen.Die leere Klausel werde mit ✷ bezeichnet.Klauseln mit den Literalen ϕ 1 , . . . , ϕ n werden meist in folgender Form notiert:ϕ ′ 1 ∨ · · · ∨ ϕ ′ m ← ϕ ′ m+1 ∧ · · · ∧ ϕ ′ n,dabei sei ϕ ′ i die Repräsentation von ϕ i (1 ≤ i ≤ m) bzw. ∼ ϕ i (m + 1 ≤ i ≤ n).Hieran sieht man schon die Entsprechung zwischen Klauseln und Disjunktionen. BeliebigeFormeln können daher in eine Konjunktion oder Menge von Klauseln umgerechnetwerden:Definition 2.1.26 (Umrechnung von Formeln in Klauselmengen): Die KlauselmengeCl + (ϕ) zu einer (Σ, Ξ)-Formel ϕ und die Klauselmenge Cl − (ϕ) zu ¬ϕ werdenrekursiv entsprechend dem Aufbau von Φ definiert:• Ist ϕ die logische Konstante true, so sei Cl + (ϕ) := ∅, Cl − (ϕ) := {✷}.logische Konstante false sei Cl + (ϕ) := {✷} und Cl − (ϕ) := ∅.Für die• Ist ϕ eine atomare Formel, so bestehe Cl + (ϕ) aus der Klausel mit dem ϕ entsprechendenpositiven Literal und Cl − (ϕ) aus der Klausel mit dem negativen Literal.• Ist ϕ eine negierte Formel mit Teilformel ϕ 0 , so seiCl + (ϕ) := Cl − (ϕ 0 ), Cl − (ϕ) := Cl + (ϕ 0 ).• Ist ϕ eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∗ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 :∗ Cl + (ϕ) Cl − (ϕ)∧ Cl + (ϕ 1 ) ∪ Cl + (ϕ 2 ) Cl − (ϕ 1 ) ◦ Cl − (ϕ 2 )∨ Cl + (ϕ 1 ) ◦ Cl + (ϕ 2 ) Cl − (ϕ 1 ) ∪ Cl − (ϕ 2 )→ Cl − (ϕ 1 ) ◦ Cl + (ϕ 2 ) Cl + (ϕ 1 ) ∪ Cl − (ϕ 2 )← Cl + (ϕ 1 ) ◦ Cl − (ϕ 2 ) Cl − (ϕ 1 ) ∪ Cl + (ϕ 2 )(↔ Cl + (ϕ 1 ) ◦ Cl − (ϕ 2 ) Cl − (ϕ 1 ) ∪ Cl + (ϕ 2 ) )∪ Cl − (ϕ 1 ) ◦ Cl + (ϕ 2 ) ◦ ( Cl + (ϕ 1 ) ∪ Cl − (ϕ 2 ) )Dabei sei für zwei Klauselmengen Φ 1 und Φ 2 :Φ 1 ◦ Φ 2 := { (Ξ, ϕ 1 ∪ ϕ 2 ) ∣ ∣ (Ξ, ϕ 1 ) ∈ Φ 1 , (Ξ, ϕ 2 ) ∈ Φ 2}.Definition 2.1.27 (Modell-Beziehung für Klauseln): Eine Klausel mit VariablendeklarationΞ und Literalen {ϕ 1 , . . . , ϕ n } gilt in (I, α) genau dann, wenn es ϕ i gibt mit:• ϕ i ist ein positives Literal mit atomarer Formel ϕ ′ i und es gilt (I, α) |= ϕ ′ i.• ϕ i ist ein negatives Literal mit atomarer Formel ϕ ′ i und es gilt (I, α) ̸|= ϕ ′ i.Sie gilt in I genau dann, wenn sie für jede Variablenbelegung α zu Ξ in (I, α) gilt.Man kann nun zeigen, daß die Umrechnung zwischen Formeln und Klauseln verträglichmit der Modell-Beziehung ist, d.h. I |= ϕ ⇐⇒ I |= Cl + (ϕ).