Defaults in deduktiven Datenbanken

2.3. ANFRAGEN UND ANTWORTEN 47Wenn für ein f die Mengen I 1 und I 2 f-ähnlich sind, dann gilt für alle I 1 ∈ I 1und I 2 ∈ I 2 mit { f(δ 1 ) ∣ ∣ δ 1 ∈ ∆ ∗ 1, I 1 |= δ 1}⊆{δ2∣ ∣ δ 2 ∈ ∆ ∗ 2, I 2 |= δ 2}:I 1 ∈ sel 1 (I 1 ) =⇒ I 2 ∈ sel 2 (I 2 ).Satz 2.3.15:Ist eine Default-Semantik rational, so erlaubt sie die Normalformbildung.Beweis:Die bijektive Abbildung zwischen den Default-Ausprägungen seif(δθ) := default δ (X 1 , . . . , X n )θ.Man kann nun leicht aus jedem Σ-Modell I von Φ eine Σ ′ -Modell I ′ von Φ ′ machen, das diebezüglich f entsprechenden Default-Ausprägungen erfüllt. Dazu definiert manI ′ [default δ ] := { (c 1 , . . . , c n ) ∣ ∣ I |= δ〈X 1 ⊳ c 1 , . . . , X n ⊳ c n 〉 } ,I ′ [answer ] := { (c 1 , . . . , c n ) ∣ ∣ I |= ψ〈X 1 ⊳ c 1 , . . . , X n ⊳ c n 〉 } .Umgekehrt erfüllt das Σ-Redukt I eines Modells I ′ von Φ ′ mindestens die bezüglich f −1 entsprechendenDefault-Ausprägungen, denn Φ ′ enthält die Formelnδ ← default δ (X 1 , . . . , X n ).Damit ist die Voraussetzung der obigen Bedingung erfüllt.Gelte Φ ⊬ sel ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k . Dann gibt es also I ∈ sel ( Mod(Φ) ) mit I ̸|= ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k .Das oben konstruierte Modell I ′ von Φ ′ erfüllt gerade die f-entsprechenden Defaults, es ist alsonach der obigen Bedingung ein intendiertes Modell von Φ ′ . Nach der Konstruktion gilt natürlichI ′ ̸|= ψ ′ θ 1 ∨ · · · ∨ ψ ′ θ k , damit folgt Φ ′ ⊬ sel ′ ψ ′ θ 1 ∨ · · · ∨ ψ ′ θ k .Gelte umgekehrt Φ ′ ⊬ sel ′ ψ ′ θ 1 ∨ · · · ∨ ψ ′ θ k und sei I ′ das entsprechende intendierte Modell.Das Σ-Redukt I von I ′ erfüllt mindestens dieselben Defaults (unter f −1 ), ist also ein intendiertesModell von Φ. Außerdem enthält Φ ′ die Formelanswer(X 1 , . . . , X n ) ← ψ.Wegen I ′ ̸|= ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k gilt I ̸|= ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k und damit Φ ⊬ sel ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ k .✷IntegritätsbedingungenZum Abschluß dieses Kapitels sollen noch einige informale Bemerkungen zu Integritätsbedingungengemacht werden, da sie zwar zu deduktiven Datenbanken dazugehören, aberim weiteren Verlauf dieser Arbeit nicht wichtig sind.Integritätsbedingungen sind Formeln, die die zulässigen Axiomenmengen (und Defaults)einschränken sollen, so daß Fehler erkannt werden. Der Maßstab für Fehler sinddabei die möglichen Zustände der realen Welt. Wenn die Datenbank etwa Geburts- undTodesjahr historischer Persönlichkeiten enthält, dann sollte die Differenz nicht-negativund kleiner als 120 sein. Manche Integritätsbedingungen werden auch erst durch Einschränkungenbei den angebotenen Datenstrukturen nötig. So hat etwa jede Person genaueine Blutgruppe. Dies ließe sich direkt mit einem (nicht-generierenden) Funktionssymbolformulieren. Hier muß man jedoch ein zweistelliges Prädikat und passende Integritätsbedingungenverwenden.