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2.2. INTENDIERTE MODELLE 37beantwortet werden. Außerdem bewirkt der Abschluß unter logischen Folgerungen auch,daß logisch äquivalente Anfragen gleich beantwortet werden. Falls etwa ψ 1 ∧ ψ 2 mit ”ja“beantwortet wird, sollte dies ja wohl auch für ψ 2 ∧ ψ 1 gelten.Schließlich sei noch bemerkt, daß man den Abschluß unter ”∧“ und den unter ”⊢“zusammenfassen kann alsΦ ⊢ c ψ 1 , . . . , Φ ⊢ c ψ n , {ψ 1 , . . . , ψ n } ⊢ ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ.Dies wurde in der obigen Definition nicht getan, um das Problem beim leichtgläubigenAnsatz genauer herauszuarbeiten (er ist unter ⊢ abgeschlossen, aber nicht unter ∧).Jetzt bleibt noch, die Äquivalenz der drei Formalisierungen zu zeigen. Dazu wird zuerstgezeigt, wie man von modelltheoretischen bzw. syntaktischen Vervollständigungen zuvervollständigten Folgerungsrelationen kommt:Definition 2.2.11 (Folgerungsrelation zu einer Vervollständigung):• Sei sel eine modelltheoretische Vervollständigung. Dann ist ⊢ c sel definiert durchΦ ⊢ c sel ψ :⇐⇒ sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ).• Sei comp eine syntaktische Vervollständigung. Dann ist ⊢ c comp definiert durchLemma 2.2.12:Φ ⊢ c comp ψ :⇐⇒ comp(Φ) ⊢ ψ.• ⊢ c sel ist eine vervollständigte Folgerungsrelation.• ⊢ c comp ist eine vervollständigte Folgerungsrelation.Beweis:• - Wenn Φ ⊢ ψ, gilt Mod(Φ) ⊆ Mod(ψ); zusammen mit sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(Φ) folgtalso sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ), und damit Φ ⊢ c sel ψ.- Aus Φ ⊢ c selψ 1 und Φ ⊢ c selψ 2 , d.h. sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ i ) für i = 1, 2 folgtsel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ 1 ) ∩ Mod(ψ 2 ), also sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ 1 ∧ ψ 2 ) und daherΦ ⊢ c sel ψ 1 ∧ ψ 2 .- Beim Abschluß unter ⊢ c bedeuten die Voraussetzungen sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ) undMod(ψ) ⊆ Mod(ψ ′ ). Hieraus ergibt sich sel ( Mod(Φ) ) ⊆ Mod(ψ ′ ), d.h. Φ ⊢ c sel ψ′ .- Die Äquivalenzerhaltung folgt direkt aus der Konstruktion, Φ 1∼ = Φ2 bedeutet jaMod(Φ 1 ) = Mod(Φ 2 ). Dann gilt natürlich auch sel ( Mod(Φ 1 ) ) = sel ( Mod(Φ 2 ) ) .• - Gilt Φ ⊢ ψ, so folgt wegen Φ ⊆ comp(Φ) auch comp(Φ) ⊢ ψ, d.h. Φ ⊢ c comp ψ.- Gilt Φ ⊢ c comp ψ 1 und Φ ⊢ c comp ψ 2 , d.h. comp(Φ) ⊢ ψ 1 und comp(Φ) ⊢ ψ 2 , so folgtcomp(Φ) ⊢ ψ 1 ∧ ψ 2 (⊢ ist unter ∧ abgeschlossen) und damit Φ ⊢ c comp ψ 1 ∧ ψ 2 .- Aus comp(Φ) ⊢ ψ und {ψ} ⊢ ψ ′ folgt comp(Φ) ⊢ ψ ′ (⊢ ist transitiv).- Sind Φ 1 und Φ 2 äquivalent, so auch comp(Φ 1 ) und comp(Φ 2 ) (wegen der Äquivalenzerhaltungvon comp). Dann haben sie natürlich auch dieselben Folgerungen. ✷