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4.1. FOLGERUNGSREGELN 79Hat man umgekehrt diese Eigenschaft und die Voraussetzung sel(I 1 ∩I 2 ) ⊆ I, dann folgt darausdirekt sel(I 1 ) ∩ I 2 ⊆ I.✷Die logische Folgerung erfüllt auch die Umkehrung der Deduktions-Eigenschaft. Für andereVervollständigungen kann man diese Umkehrung aber nicht verlangen:Satz 4.1.16:Die einzige konsistenzerhaltende Vervollständigung ⊢ c mitΦ ⊢ c ϕ → ψ =⇒ Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψist die logische Folgerung ⊢.Beweis: Sei ⊢ c verschieden von ⊢. Dann gibt es also Φ und ϕ ′ mit Φ ⊢ c ϕ ′ , aber Φ ⊬ ϕ ′ . Fürϕ := ¬ϕ ′ gilt dann also Φ ⊢ c ¬ϕ, und daher Φ ⊢ c ϕ → false. Nach der geforderten Eigenschaftgilt dann Φ ∪ {ϕ} ⊢ c false. Andererseits ist Φ ∪ {ϕ} aber konsistent wegen Φ ⊬ ¬ϕ. Also ist ⊢ cnicht konsistenzerhaltend.✷Die Deduktions-Eigenschaft selbst ist dagegen sehr nützlich. So läßt sie etwa eine ganzeReihe unterschiedlicher Formulierungen zu, die allesamt äquivalent sind.Ein Beispiel ist die Folgerungsregel von der Eliminierung der Disjunktionen:Satz 4.1.17: Eine Vervollständigung comp/⊢ c /sel hat die Deduktions-Eigenschaft genaudann, wenn gilt (Eigenschaft DIS, ϕ 1 und ϕ 2 seien variablenfreie Formeln):• comp(Φ) ⊢ ϕ 1 ∨ ϕ 2 , comp(Φ ∪ {ϕ 1 }) ⊢ ψ, comp(Φ) ∪ {ϕ 2 } ⊢ ψ =⇒ comp(Φ) ⊢ ψ.• Φ ⊢ c ϕ 1 ∨ ϕ 2 , Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c ψ, Φ ∪ {ϕ 2 } ⊢ c ψ =⇒ Φ ⊢ c ψ.• sel(I 1 ∪ I 2 ) ⊆ sel(I 1 ) ∪ sel(I 2 ).Beweis: Die Äquivalenz der Formulierung für vervollständigte Folgerungsrelationen und syntaktischeFolgerungsrelationen ist in beiden Fällen offensichtlich, folgt also aus der Behauptungfür ⊢ c .Sei also zunächst die Aussage für vervollständigte Folgerungsrelationen bewiesen:• ”DIS =⇒ DED“: Es gilt Φ ⊢ c (ϕ → ψ) ∨ ϕ, denn (ϕ → ψ) ∨ ϕ ist äquivalent zu¬ϕ ∨ ψ ∨ ϕ und damit zu true, wird also von beliebigem Φ schon logisch impliziert. NachVoraussetzung gilt Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ψ, und daher Φ ∪ {ϕ} ⊢ c ϕ → ψ. Außerdem gilt natürlichΦ ∪ {ϕ → ψ} ⊢ c ϕ → ψ. Wendet man die Regel DIS auf diese drei Voraussetzungen an, soerhält man die Behauptung Φ ⊢ c ϕ → ψ.• DED =⇒ DIS“: Nach Voraussetzung gelten Φ ⊢ c ϕ ” 1 ∨ ϕ 2 , Φ ∪ {ϕ 1 } ⊢ c ψ undΦ ∪ {ϕ 2 } ⊢ c ψ. Die zweite und dritte Forderung kann man mit DED umformen zuΦ ⊢ c ϕ 1 → ψ und Φ ⊢ c ϕ 2 → ψ. Nun folgt aber ϕ ⊢ c ψ aus dem Abschluß unter ∧und ⊢ c , denn {ϕ 1 ∨ ϕ 2 , ϕ 1 → ψ, ϕ 2 → ψ} ⊢ ψ.Nun ist die Aussage noch für modelltheoretische Vervollständigungen zu beweisen:• ”DIS =⇒ DED“: Ein Spezialfall der Eigenschaft DIS istsel ( (I 1 ∩ I 2 ) ∪ (I 1 ∩ I 2 ) ) ⊆ sel(I 1 ∩ I 2 ) ∪ sel(I 1 ∩ I 2 ).Offensichtlich kann man die linke Seite zu sel(I 1 ) vereinfachen. Schneidet man nun aufbeiden Seiten mit I 2 , so ergibt sich die Behauptung:sel(I 1 ) ∩ I 2 ⊆ sel(I 1 ∩ I 2 )