Defaults in deduktiven Datenbanken

5.3. WEITERE SEMANTIKEN 115Satz 5.3.8:I 1 ≺ I 2Dann giltSei δ 1 , δ 2 , . . . , δ n wie in Definition 5.3.7 und gelte:⇐⇒ I 1 und I 2 unterscheiden sich in mindestens einem δ iund für das minimale solche i gilt I 1 |= δ i , I 2 ̸|= δ i .I |= scwa (∆,❁) (Φ) ⇐⇒ I ∈ min ≺(Mod(Φ)).Beweis:• =⇒ “: Gelte also I |= scwa ” (∆,❁) (Φ). Wäre I nicht minimal, so gäbe es also I 0 ≺ I.Sei δ i der erste Default in der Aufzählung, in dem sich die beiden Modelle unterscheiden.Dann gilt I 0 |= δ und I ̸|= δ. Dies ist aber nicht möglich, denn dann wäre Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i }konsistent (I 0 ist ein Modell), also müßte δ i ∈ scwa (∆,❁) (Φ) sein im Widerspruch zuI |= scwa (∆,❁) (Φ).( )• Sei umgekehrt I ∈ min ≺ Mod(Φ) . Angenommen, I ̸|= scwa(∆,❁) (Φ). Sei nun δ i derin der Aufzählung erste Default aus scwa (∆,❁) (Φ) mit I ̸|= δ i . Nach Konstruktion vonscwa (∆,❁) (Φ) ist Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } konsistent, also gibt es ein Modell I 0 . Im Wahrheitswertder früheren Defaults (δ 1 , . . . , δ i−1 ) stimmen I 0 und I überein, denn beide erfüllen E i−1 undmehr ist nach Konstruktion unmöglich. Also entscheidet δ i , daß I 0 ≺ I im Widerspruchzur Minimalität von I.✷Damit ”erbt“ die starke CWA also viele der guten Eigenschaften der minimalen Modelle,nämlich Konsistenzerhaltung, Kumulation, Deduktions- und Expansions-Eigenschaft.Ein Mangel ist natürlich, daß die Defaults nicht gleich behandelt werden — es werdenDefaults vorgezogen, ohne daß der Entwerfer entsprechende Prioritäten spezifiziert hat.Die starke CWA legt auch die Wahrheitswerte der Defaults vollständig fest. Wähltman etwa wie üblich die negativen Grundliterale als Defaults, so hat man immer nur eineinziges intendiertes Modell. Für einige Anwendungen ist das natürlich wünschenswert,aber unvollständige Information kann man damit nicht mehr darstellen.Schließlich sei noch gezeigt, daß die starke CWA tatsächlich mit der naiven CWAübereinstimmt, wenn diese konsistent ist:Satz 5.3.9:Ist ncwa (∆,❁) (Φ) konsistent, so gilt scwa (∆,❁) (Φ) = ncwa (∆,❁) (Φ).Beweis: Sei also ncwa (∆,❁) (Φ) konsistent, und sei δ i der erste Default in der Aufzählung, beidem sich die beiden Mengen unterscheiden.• δ i ∈ scwa (∆,❁) (Φ), δ i ∉ ncwa (∆,❁) (Φ): Dann müßte ncwa (∆ ∗δi ,❁ δi )(Φ) ⊢ ¬δ gelten, aberandererseits ist aufgrund der Minimalitätsforderung ncwa (∆ ∗δi ,❁ δi )(Φ) ⊆ E i−1 , ein Widerspruchzur Konsistenz von Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i }.• δ i ∉ scwa (∆,❁) (Φ), δ i ∈ ncwa (∆,❁) (Φ): Dann ist also Φ ∪ E i−1 ∪ {δ i } inkonsistent. Da iminimal gewählt wurde, gilt aber Φ ∪ E i−1 ⊆ ncwa (∆,❁) (Φ). Dies ist ein Widerspruch zurKonsistenz von ncwa (∆,❁) (Φ).✷