Defaults in deduktiven Datenbanken

2.3. ANFRAGEN UND ANTWORTEN 41Sonst kann es beim Einfügen und Löschen von Axiomen oder Defaults zu überraschendenEffekten kommen:Beispiel 2.3.3: Sei Φ := {p(X) ∨ q, p(c 1 )} und ∆ := {¬p(X), ¬q}, dabei habeder erste Default höhere Priorität. Diese Formeln sind nicht bereichsbeschränkt: Nachden Axiomen könnte p noch ein negativ bindendes Prädikat sein, aber dann wäre derDefault ¬p(X) nicht bereichsbeschränkt.Ist c 1 nun die einzige Konstante, so ist ¬p(c 1 ) die einzige Ausprägung von ¬p(X).Sie kann aber sicherlich nicht angenommen werden, da genau das Gegenteil als Axiomspezifiziert ist. Also hat der Default ¬q keine Konkurrenten, er sollte jedenfalls von jedervernünftigen Semantik angenommen werden. Daher ist die Antwort ”ja“ eine korrekteAntwort auf die Anfrage ¬q.Die Situation ändert sich, wenn es eine weitere Konstante c 2 gibt. Denn nun stehendie Default-Ausprägungen ¬p(c 2 ) und ¬q im Konflikt miteinander. Da ¬p(c 2 ) höherePriorität hat, wird dieser Default also angenommen. Die Anfrage ¬q kann jetzt nichtmehr mit ja“ beantwortet werden, tatsächlich folgt ja sogar ihre Negation. ✷”Zunächst ist es interessant, festzuhalten, daß diese Probleme von der Vervollständigungverursacht werden. Bei der logischen Folgerung ist die Unabhängigkeit von der Signaturimmer gegeben, selbst wenn man nicht bereichsbeschränkte Axiome zuläßt:Satz 2.3.4: Seien Σ ⊆ Σ ′ Signaturen, die zu jeder Sorte mindestens eine Konstanteenthalten, aber keine vordefinierten Prädikate. Sei weiter Φ eine Menge von Σ-Formelnund ψ eine variablenfreie Σ-Formel. Dann giltΦ ⊢ Σ ψ ⇐⇒ Φ ⊢ Σ ′ ψ(Dabei bedeute Φ ⊢ Σ ψ, daß alle Σ-Herbrandmodelle von Φ auch Modelle von ψ sind.)Beweis:• ”=⇒ “: Gelte nicht Φ ⊢ Σ ′ ψ. Dann gibt es ein Σ ′ -Herbrandmodell I ′ von Φ mit I ′ ̸|= ψ.Sei I das Σ-Redukt von I ′ . Da Φ keine Existenzaussagen enthält, gilt I |= Φ (wäre einΣ-Grundbeispiel ϕ in I nicht erfüllt, so ist es natürlich auch nicht in I ′ erfüllt). Weil ψvariablenfrei ist, hat es in I denselben Wahrheitswert wie in I ′ , d.h. I ̸|= ψ.• ”⇐= “: Sei umgekehrt I ein Σ-Herbrandmodell von Φ mit I ̸|= ψ. Dieses Herbrandmodellmuß nun zu einem Σ ′ -Herbrandmodell I ′ erweitert werden. Die oben definierte Standard-Erweiterung eignet sich nur für bereichsbeschränkte Formeln. Hier kann man aber aucheinfach die neuen Konstanten als Synonyme für alte interpretieren. Sei also f: C ′ → Ceine Abbildung mit f(c) = c für alle c ∈ C (an dieser Stelle wird benötigt, daß es in Σeine Konstante jeder Sorte gibt, von der es in Σ ′ Konstanten gibt). Dann sei I ′ das Σ ′ -Herbrandmodell mit(c 1 , . . . , c n ) ∈ I ′ [p] :⇐⇒ ( f(c 1 ), . . . , f(c n ) ) ∈ I [p](diese Definition ist nur möglich, wenn p kein vordefiniertes Prädikat ist). Würde nun einΣ ′ -Grundbeispiel ϕ einer Formel aus Φ in I ′ nicht erfüllt, so würde es nach Anwendung