Defaults in deduktiven Datenbanken

2.3. ANFRAGEN UND ANTWORTEN 43Lemma 2.3.7: Sei Σ ⊆ Σ ′ und seien comp/comp ′ syntaktische Σ/Σ ′ -Vervollständigungen,die folgende Bedingungen erfüllen:• comp(Φ) = comp ′ (Φ) ∩ L + Σ ,• comp(Φ) ∪ (∆ ∗ Σ ′ − ∆∗ Σ ) ⊢ comp′ (Φ).Dann gilt Φ ⊢ comp ψ ⇐⇒ Φ ⊢ comp ′ ψ.Beweis: Gelte comp(Φ) ⊬ Σ ψ und sei I ein Σ-Herbrand-Modell von comp(Φ) mit I ̸|= ψ. Sei I ′eine Standard-Erweiterung von I auf Σ ′ . Nach Lemma 2.1.20 erfüllt I ′ die Formeln aus ∆ ∗ Σ ′ −∆ ∗ Σ ,nach der zweiten Bedingung ist I ′ dann Modell von comp ′ (Φ). Also gilt comp ′ (Φ) ⊬ Σ ′ ψ.Gelte umgekehrt comp ′ (Φ) ⊬ Σ ′ ψ und sei I ′ ein Σ ′ -Herbrand-Modell von comp ′ (Φ). Nachder ersten Bedingung ist I ′ dann auch Modell von comp(Φ). Da es sich um Allaussagen handelt,ist auch das Σ-Redukt I von I ′ ein Modell von comp(Φ). Damit folgt aber comp(Φ) ⊬ Σ ψ. ✷Alle in Kapitel 5 vorgeschlagenen Default-Semantiken garantieren die Unabhängigkeitvon der Signatur. Der Grund hierfür ist, daß für die Entscheidung, welche Defaults angenommenwerden, nur maximale konsistente Mengen von Default-Ausprägungen relevantsind (bei diesen Semantiken). Diese Mengen bezüglich Σ ′ sind aber gerade die Mengenbezüglich Σ vereinigt mit den neuen Default-Ausprägungen ∆ ∗ Σ − ′ ∆∗ Σ . Alle dieseDefault-Semantiken haben nun die Eigenschaft, daß so ein konstanter Anteil von Default-Ausprägungen keinen Einfluß auf die Auswahl der übrigen hat.Endlichkeit der AntwortmengeDie Menge der korrekten Antworten sollte immer endlich sein, denn von einer Datenbankwird erwartet, daß sie mengenorientiert arbeitet, d.h. insbesondere die Menge derkorrekten Antworten als Ganzes ausgibt. Das ist aber offensichtlich unmöglich, wenndiese Menge unendlich ist. Ein Beispiel wären die folgenden (nicht bereichsbeschränkten)Regeln, die die Menge der Zweierpotenzen definieren:zweierPotenz(1).zweierPotenz(X) ← zweierPotenz(Y ) ∧ X = Y + Y.Die zweite Regel ist nicht bereichsbeschränkt, weil X nicht gebunden ist. Bei Prolog trittdieses Problem nicht auf, da hier immer nur eine Antwort auf einmal ausgegeben wird.Außerdem sollten in den korrekten Antworten nur Konstanten vorkommen, die auchin den Axiomen oder Defaults vorkommen. Dies impliziert natürlich sofort die erste Forderung(in den Axiomen und Defaults können ja nur endlich viele Konstanten vorkommen).Definition 2.3.8 (Beschränkung der Antworten): Eine Σ ′ -Vervollständigung ⊢ cerzeugt keine Antworten außerhalb von Σ 0 , wenn für alle Signaturen Σ mit Σ 0 ⊆ Σ ⊆ Σ ′und alle Σ-Axiomenmengen Φ, Σ-Anfragen ψ, Σ ′ -Antwortsubstitutionen θ 1 , . . . , θ n gilt:Φ ⊢ c ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ n =⇒ Φ ⊢ c ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ m ,dabei seien θ 1 , . . . , θ m (m < n) die Substitutionen, die nur Σ-Konstanten enthalten.