Defaults in deduktiven Datenbanken

5.1. MINIMALE MODELLE 91• Da die den Defaults entsprechenden Modellmengen nach unten abgeschlossen sind, folgtaus I 1 ≺ I 2 und I 2 |= δ natürlich I 1 |= δ und damit giltI 1 ≺ I 2=⇒ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 1 |= δ } ⊃ {δ ∈ ∆ ∗ | I 2 |= δ}.• Ist dagegen I 1 ⊀ I 2 , dann gilt I 2 |= δ I2 , aber I 1 ̸|= δ I2 , also folgt ⊅ und damit dieRichtung ⇐= .✷Die Konstruktion der Defaults in dem Beweis ist nicht unrealistisch, zumindest erhältman in dem Standardbeispiel (Minimierung der Prädikatextensionen) Konjunktionen vonnegativen Grundliteralen, die man mit Satz 5.1.5 (s.u.) zu den üblichen negativen Grundliteralenvereinfachen kann.Konjunktionen sind aber nicht immer überfüssig. Wenn man als Defaults nur Klauselnzuläßt, würde sich die Ausdrucksfähigkeit dieses Ansatzes verringern, nicht jede Ordnungsrelationwäre mehr darstellbar:Beispiel 5.1.4: Seien die Interpretationen über einer Signatur mit den beiden Aussagenvariablenp und q betrachtet. Die Ordnung ≺ sei gegeben durch:[¯p¯q] ≺ [¯pq] ≺ [p¯q] ≺ [pq](dies entspricht gerade den Defaults ¬p und ¬q, wobei ¬p höhere Priorität hat, s.u.).Ziel ist es nun, eine passende Menge ∆ von Defaults zu konstruieren. Auf jeden Fallmuß in [¯p¯q] ein Default δ ∈ ∆ gelten, der in [¯pq] nicht gilt, sonst wäre [¯p¯q] ⊀ ∆ [¯p¯q]. Würdeδ aber in einer der beiden anderen Interpretationen [p¯q] und [pq] gelten, so müßte er auchin [¯pq] gelten, denn sonst wäre [¯p¯q] ⊀ ∆ [p¯q] bzw. [¯p¯q] ⊀ ∆ [pq]. Da δ aber in [¯pq] geradenicht gilt, kann er also nur in [¯p¯q] gelten und in keiner der anderen Interpretationen.Man kann nun aber leicht alle in Frage kommenden Klauseln durchgehen und feststellen,daß sie diese Bedingung nicht erfüllen. Man bräuchte hier die Konjunktion ¬p ∧ ¬q,die aber keine Klausel ist.✷Zwei verschiedene Ordnungsrelationen liefern auch immer zwei verschiedene Vervollständigungen,wie man an Axiomenmengen mit genau zwei Modellen sehen kann. Für Mengenvon Defaults gilt das dagegen nicht, es ist durchaus möglich, daß ∆ 1 ≠ ∆ 2 , abermin ∆1 = min ∆2 gilt.Es ist nützlich zu wissen, wann Mengen von Defaults in diesem Sinne äquivalent sind,etwa um Vereinfachungen vorzunehmen, oder um feststellen zu können, ob die Vorschlägezweier verschiedener Entwerfer sich tatsächlich unterscheiden.Man wird erwarten, daß Vervollständigungen keinen Unterschied zwischen äquivalentenDefaults machen; die folgende Aussage ist aber noch deutlich stärker:Satz 5.1.5: Seien ∆ 1 und ∆ 2 Mengen von Defaults, wobei jeder Default δ 1 ∈ ∆ ∗ 1äquivalent zu einer Verknüpfung mit ∧ und ∨ von Defaults aus ∆ ∗ 2 ist und umgekehrtjeder Default δ 2 ∈ ∆ ∗ 2 äquivalent zu einer ∧/∨-Verknüpfung von Defaults aus ∆ ∗ 1 ist.Dann gilt min ∆1 = min ∆2 .