Defaults in deduktiven Datenbanken

98 KAPITEL 5. SEMANTIK VON DEFAULTSBeweis: Zunächst sei festgestellt, daß ≺ i wirklich eine (strikte) partielle Ordnung ist ( ∼ = ∆ ∗jund ≺ ∆i sind beide transitiv, und ≺ ∆i ist irreflexiv).• ”⊆“: Sei I ∈ min (∆,l) (I). Angenommen I ∉ min ≺i (. . .), aber I ∈ min ≺i−1 (. . .). Danngibt es also ein Modell I ′ mit I ′ ≺ i I. Nach der Definition der beiden Ordnungsrelationenfolgt sofort, daß I ′ ≺ (∆,l) I im Widerspruch zur Minimalität von I.• ⊇“: Sei I ∉ min ” (∆,l) (I). Also gibt es I ′ mit I ′ ≺ (∆,❁) I. Sei i die minimale Stufe, auf dersich die beiden Modelle unterscheiden. Falls I ∉ min ≺i−1 (. . .), ist nichts mehr zu zeigen.Sonst ist aber auch I ′ ∈ min ≺i−1 (. . .), und nach der Konstruktion gilt I ′ ≺ i I. ✷Natürlich kann man die Ordnungsrelationen ≺ i auch durch Defaults spezifizieren. Manwählt dazu etwa ∆ ′ i := ∆ 1 ∪· · ·∪∆ i . Zwei auf niedrigerer Stufe nicht-äquivalente Modellesind dann nicht mehr vergleichbar.Iterative Konstruktionen von Modellen sind für stratifizierte logische Programme üblich,siehe etwa [ABW88, Llo87]. Dort treten die hier festgestellten Schwierigkeiten nicht auf,weil es immer nur ein minimales Modell gibt.Vergleichbar sind sonst noch die in [Lif85] vorgeschlagene Methode zur Berechnungder priorisierten Circumscription und die in [Bre91] definierte priorisierte Version vonpreferred subtheories“.”Neu ist der Nachweis der fehlenden Kumulierung und der allgemeine modelltheoretischeAnsatz.Erweiterung auf partiell geordnete DefaultsFalls die Default-Spezifikation nur eine partielle Ordnung auf den Defaults festlegt, kannman die Präferenzrelation auf den Modellen folgendermaßen definieren:Definition 5.1.18 (Minimale Modelle bei partiell geordneten Defaults): Sei ∆eine Menge von Defaults und ❁ eine partielle Ordnung auf ∆. Dann sei ≺ (∆,❁) definiertdurchI 1 ≺ (∆,❁) I 2 :⇐⇒ Für alle δ 2 ∈ ∆ ∗ mit I 2 |= δ 2 , I 1 ̸|= δ 2gibt es δ 1 ∈ ∆ ∗ , δ 1 ❁ δ 2 mit I 1 |= δ 1 , I 2 ̸|= δ 1 .Wieder schreibt man min (∆,❁) für min ≺(∆,❁) .Außerdem ist { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 1 |= δ } ≠ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 2 |= δ } .Ausgangspunkt für diese Ordnungsrelation ist natürlich wiederI 1 ≺ ∆ I 2 :⇐⇒ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 1 |= δ } ⊃ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ ∣ I 2 |= δ } .Ist ein Modell bereits nach dieser Ordnungsrelation nicht minimal, so soll es natürlichauch bezüglich der neuen Ordnung nicht minimal sein, denn man möchte auf jeden Fallmehr Defaults erfüllen, solange man auf keinen verzichten muß. Hat man nun eine Prioritätsrelation❁ auf den Defaults festgelegt, so läßt man eventuell eine Verletzung von ”⊃“zu (durch den Default δ 2 ), falls man dafür einen Default höherer Priorität gewinnt (δ 1 ).Alternativ kann man die Relation ≺ (∆,❁) auch folgendermaßen definieren: