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130 KAPITEL 6. BERECHNUNG VON ANTWORTENterpretation I gibt, in der die Fakten falsch und die Regeln wahr sind [CL73] (deswegenheißt eine solche Resolventenmethode auch semantische Resolution“).”Aufgrund der Einschränkung, daß Fakten keine Variablen enthalten sollen, hat manbei positiv und negativ bindenden Prädikaten keine Wahl: I muß die positiv bindendenPrädikate als falsch und die negativ bindenden als wahr interpretieren (wenn man beliebigeAxiomenmengen Φ zuläßt). Bei den nicht bindenden Prädikaten könnte dagegen einebeliebige Interpretation gewählt werden. Oben wurden sie zur technischen Vereinfachungwie positiv bindende Prädikate behandelt, aber in speziellen Fällen könnte eine andereWahl günstiger sein. Ziel sollte es dabei sein, möglichst viele der vorgegebenen Axiome Φals Fakten behandeln zu können, und nur wenige Regeln zu haben.Datentyp-Prädikate können bei der Regelanwendung gleich ausgewertet werden, daihre Interpretation durch I D eindeutig bestimmt ist und die Variablen anderweitig gebundensind.Definition 6.1.5 (Einfache Hyperresolution): Sei Φ F eine Menge von disjunktivenFakten und Φ R eine Menge von Regeln. Ein disjunktives Faktum ˆϕ heißt aus Φ F ∪ Φ Rmit einfacher Hyperresolution direkt ableitbar, wenn es• eine Regel λ H 1 ∨· · ·∨λ H n ← λ B 1 ∧· · ·∧λ B m ∧λ E 1 ∧· · ·∧λ E m ′ ∈ Φ R mit Kopf-Literalen λ H ,Rumpf-Literalen ∼ λ B und auswertbaren Literalen ∼ λ E• eine Grundsubstitution θ für diese Regel, und• disjunktive Fakten der Form λ B i θ ∨ λ C i,1 ∨ · · · ∨ λ C i,k i∈ Φ F (i = 1, . . . , m)gibt, so daß• I D |= λ E j θ für j = 1, . . . , m ′ , und• ˆϕ = λ H 1 θ ∨ · · · ∨ λ H n θ ∨ λ C 1,1 ∨ · · · ∨ λ C 1,k 1∨ · · · ∨ λ C m,1 ∨ · · · ∨ λ C m,k m.Definition 6.1.6 (ableitbar): Ein disjunktives Faktum ˆϕ heißt aus Φ F ∪ Φ R miteinfacher Hyperresolution ableitbar, wenn für ˆΦ 0 := Φ F ,ˆΦ i := ˆΦ i−1 ∪ { ˆϕ ′ | ˆϕ ′ ist aus ˆΦ i−1 ∪ Φ R direkt ableitbar}und ein i ∈ IN gilt: ˆϕ ∈ ˆΦ i .Es ist jetzt die Korrektheit und Vollständigkeit dieser Resolventenmethode zu zeigen. ImGegensatz zur üblichen Vollständigkeitsaussage [CL73], die sich nur auf die leere Klauselbezieht, wird hier die Vollständigkeit für minimale disjunktive Fakten benötigt.Es sei noch daran erinnert, daß bei eingebauten Prädikaten aus P D natürlich auchbei der logischen Folgerung nur solche Modelle betrachtet werden, die mit I D kompatibelsind. So gilt etwa ∅ ⊢ (2 = 1 + 1).Lemma 6.1.7:Ist ˆϕ mit einfacher Hyperresolution aus ¯Φ ableitbar, so gilt ¯Φ ⊢ ˆϕ.Beweis: Dies ergibt sich ganz direkt mit vollständiger Induktion über der Länge der Ableitung,d.h. über dem Index i von ˆΦ i . Hat man ein Modell der verwendeten disjunktiven Fakten, dasaußerdem die Regel und die auswertbaren Literale erfüllt, so muß dieses Modell natürlich auchdas abgeleitete disjunktive Faktum erfüllen.✷