Defaults in deduktiven Datenbanken

5.1. MINIMALE MODELLE 95Erweiterung auf priorisierte DefaultsLegt die Default-Spezifikation auch Prioritäten für die Defaults fest, so müssen diesenatürlich bei der Festlegung der zugehörigen Präferenzrelation auf den Modellen berücksichtigtwerden. Bekanntlich wird ein Default mit höherer Priorität (also kleinerem l-Wert) als wichtiger angesehen als beliebig viele Defaults niedrigerer Priorität. Daherbraucht man nur die Defaults auf der höchsten Prioritäts-Ebene zu berücksichtigen, aufder sich die beiden Modelle in der Interpretation eines Defaults unterscheiden:Definition 5.1.11 (Minimale Modelle mit Prioritäten): Sei ∆ eine Menge vonDefaults und l eine Stufeneinteilung von ∆. Die durch (∆, l) gegebene PräferenzrelationistI 1 ≺ (∆,l) I 2 :⇐⇒ es gibt ein i ∈ IN mit{ ∣ δ ∈ ∆∗ l(δ) < i, I1 |= δ } = { δ ∈ ∆ ∣ ∗ l(δ) < i, I2 |= δ } ,{ ∣ δ ∈ ∆∗ l(δ) = i, I 1 |= δ } ⊃ { δ ∈ ∆ ∣ ∗ l(δ) = i, I 2 |= δ } .Die durch (∆, l) gegebene Vervollständigung vom Typ minimale Modelle istmin (∆,l) := min ≺(∆,l) .Lemma 5.1.12: Die Relation ≺ (∆,l) ist eine partielle Ordnung, also transitiv undirreflexiv.Beweis: Die Irreflexivität gilt direkt nach der Definition. Die Transitivität ist ebenfalls einfach:Gelte I 1 ≺ (∆,l) I 2 , wobei sich die beiden Modelle erstmals auf der Stufe i 1 unterscheiden, undgelte I 2 ≺ (∆,l) I 3 aufgrund der Defaults der Stufe i 2 . Dann wird die definierende Eigenschaftvon I 1 ≺ (∆,l) I 3 für i := min(i 1 , i 2 ) erfüllt.✷Da die Eigenschaften oben für beliebige Vervollständigungen des Typs ”minimale Modelle“nachgewiesen wurden, gelten sie natürlich auch, wenn die Präferenzrelation anderskonstruiert wurde.Hinsichtlich der Eigenschaften und der Ausdrucksfähigkeit ist die Verallgemeinerungauf priorisierte Defaults also nicht besonders interessant, aber sie vereinfacht die praktischeSpezifikationsarbeit beträchtlich:Beispiel 5.1.13: Sei der typische Fall priorisierter Defaults betrachtet, nämlich denDefault ¬p mit l(¬p) = 1 und den Default ¬q mit l(¬q) = 2. Nach der Konstruktionin Beweis von Lemma 5.1.3 erhält man äquivalente nicht-priorisierte Defaults, wenn manzu jedem Modell einen Default einführt, der in diesem Modell und allen kleineren gilt.Danach braucht man also die vier Defaults:¬p ∧ ¬q, ¬p, ¬p ∨ ¬q, true(true ist natürlich überflüssig). Das Prinzip ist also, daß man sicherstellen muß, daß diegeringer priorisierten Defaults (¬q) automatisch erfüllt sind, wenn ein höher priorierterDefault gilt, daher die Disjunktion ¬p ∨ ¬q. Andererseits ist es natürlich noch besser,wenn beide Defaults erfüllt sind: ¬p ∧ ¬q. Bei einem zusätzlichen Default ¬p ′ der Stufe 1