Defaults in deduktiven Datenbanken

4.1. FOLGERUNGSREGELN 77Die Folgerungsregeln beschränkte Monotonie und beschränkte Schnittregel wurden in[Gab85] eingeführt, die Kumulierung in [Mak89]. Dort wurde auch gezeigt, daß etwadie Default-Logik nicht immer kumulierend ist. In [Bra90b] wurde gezeigt, daß auch dieCircumscription erster Stufe diese Regel verletzen kann. In der Theorie der Wahlverfahrenist eine Eigenschaft, die der beschränkten Monotonie entspricht, schon seit mindestens1975 bekannt [Mou85] ( Aizerman-Eigenschaft“).”Die Deduktions-EigenschaftAls nächstes sei die Regel von der Einführung der Implikation ”→“ untersucht:Φ ∪ {ψ 1 } ⊢ c ψ 2 =⇒ Φ ⊢ c ψ 1 → ψ 2 .Dies ist auch das Deduktionstheorems [BN77] (bzw. die eine Richtung davon [BW91]).Da diese Regel nicht linksstabil ist, ist es auch nicht überraschend, daß sie nichtfür beliebige Vervollständigungen gilt. Es wird sich aber herausstellen, daß es sowohlvernünftige Vervollständigungen gibt, für die sie gilt (nämlich die minimalen Modelle),als auch solche, für die sie nicht gilt (z.B. die GCWA). Damit kann diese Regel also zurKlassifikation von Vervollständigungen dienen, und nicht (wie Konsistenzerhaltung undKumulierung) zur Ausscheidung ungeeigneter Vervollständigungen.Beispiel 4.1.13: Wie oben schon erwähnt, verletzt die GCWA [Min82] diese Regel.Die zugrundeliegenden Defaults sind hier ¬p und ¬q. Die einzige Besonderheit trittbei Φ := {p ∨ q} auf, dort stehen die beiden Defaults im Konflikt miteinander und es wirdkeiner von beiden angenommen.Φ [pq] [p¯q] [¯pq] [¯p¯q] comp(Φ)falsefalse¬p, ¬q • ¬p, ¬q¬p, q • ¬p, q¬p ◦ • ¬p, ¬qp, ¬q • p, ¬q¬q ◦ • ¬p, ¬qp ↔ ¬q • • p ↔ ¬q¬p ∨ ¬q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp, q • p, qp ↔ q ◦ • ¬p, ¬qq ◦ • ¬p, q¬p ∨ q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp ◦ • p, ¬qp ∨ ¬q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp ∨ q • • • p ∨ qtrue ◦ ◦ ◦ • ¬p, ¬qWie in Beispiel 4.1.2 wird hier die Vervollständigung durch Auflisten der Selektionsfunk-