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2.1. DIE VERWENDETE LOGIK 21Definition 2.1.18 (Gebundene und ungebundene Variablen): Die Menge der ineiner Formel ϕ gebundenen Variablen, B + (ϕ)/B − (ϕ), und die Menge der in ϕ ungebundenenVariablen, U + (ϕ)/U − (ϕ), werden wie folgt definiert:• Ist ϕ eine logische Konstante, so sei:B + (ϕ) := ∅, B − (ϕ) := ∅, U + (ϕ) := ∅, U − (ϕ) := ∅.• Ist ϕ eine atomare Formel mit Prädikat p und Argumentliste t 1 . . . t n :{ { X falls β(p) = −X falls β(p) = +B + (ϕ) :=B − (ϕ) :=∅ sonst∅ sonst{ { ∅ falls β(p) = −∅ falls β(p) = +U + (ϕ) :=U − (ϕ) :=X sonstX sonstdabei sei X := {X i | t i ist eine Variable X i }.• Ist ϕ eine negierte Formel mit Teilformel ϕ 0 :B + (ϕ) := B − (ϕ 0 ), B − (ϕ) := B + (ϕ 0 ),U + (ϕ) := U − (ϕ 0 ), U − (ϕ) := U + (ϕ 0 ).• Ist ϕ eine zusammengesetzte Formel mit Junktor ∗ und Teilformeln ϕ 1 und ϕ 2 :∗ B + (ϕ)/B − (ϕ) U + (ϕ)/U − (ϕ)∧ B + (ϕ 1 ) ∩ B + (ϕ 2 ) U + (ϕ 1 ) ∪ U + (ϕ 2 )B − (ϕ 1 ) ∪ B − (ϕ 2 ) ( U − (ϕ 1 ) ∪ U − (ϕ 2 ) ) − ( B − (ϕ 1 ) ∪ B − (ϕ 2 ) )∨ B + (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ) ( U + (ϕ 1 ) ∪ U + (ϕ 2 ) ) − ( B + (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ) )B − (ϕ 1 ) ∩ B − (ϕ 2 ) U − (ϕ 1 ) ∪ U − (ϕ 2 )→ B − (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ) ( U − (ϕ 1 ) ∪ U + (ϕ 2 ) ) − ( B − (ϕ 1 ) ∪ B + (ϕ 2 ) )B + (ϕ 1 ) ∩ B − (ϕ 2 ) U + (ϕ 1 ) ∪ U − (ϕ 2 )← B + (ϕ 1 ) ∪ B − (ϕ 2 ) ( U + (ϕ 1 ) ∪ U − (ϕ 2 ) ) − ( B + (ϕ 1 ) ∪ B − (ϕ 2 ) )B − (ϕ 1 ) ∩ B + (ϕ 2 ) U − (ϕ 1 ) ∪ U + (ϕ 2 )Der Ausdruck für ”↔“ ergibt sich aus ϕ 1 ↔ ϕ 2∼ = (ϕ1 → ϕ 2 ) ∧ (ϕ 1 ← ϕ 2 ).Definition 2.1.19 (Bereichsbeschränkte Formel): Eine Formel ϕ heißt bereichsbeschränktgenau dann, wenn U + (ϕ) = ∅ ist. Die Menge der bereichsbeschränkten Σ-Formeln werde mit L + Σ bezeichnet.Eine Formel ϕ heißt stark bereichsbeschränkt bzw. negativ stark bereichsbeschränktgenau dann, wenn X ∈ B + (ϕ) bzw. X ∈ B − (ϕ) für jede in ϕ vorkommende Variable X.Der Unterschied zwischen bereichsbeschränkten und stark bereichsbeschränkten Formelntritt im klassischen Fall (Klauseln) nicht auf. Ein Beispiel ist etwa die Formelϕ := ( p 1 (X) ← p 2 (X) ) ∧ ( q 1 (Y ) ← q 2 (Y ) )(alle Prädikate seien positiv bindend). Diese Formel ist bereichsbeschränkt (U + (ϕ) = ∅),aber nicht stark bereichsbeschränkt (B + (ϕ) = ∅).