Defaults in deduktiven Datenbanken

40 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENFolgerung; außerdem bräuchte man dazu eigentlich einen Modulbegriff, denn natürlichsollen diese neuen Axiome den Inhalt der Datenbank nicht ändern.Definition 2.3.2 (Korrekte Antwort): Eine nichtleere Menge {θ 1 , . . . , θ n } von Σ-Grundsubstitutionen für die Ergebnisvariablen einer Anfrage ψ heißt korrekte Antwortauf ψ genau dann, wennΦ ⊢ c ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ n .Eine korrekte Antwort heißt definit, wenn sie aus genau einem Element besteht. Eine korrekteAntwort heißt minimal, wenn keine echte Teilmenge von ihr ebenfalls eine korrekteAntwort ist.Eine Antwort soll also Werte (Konstanten) für die Ergebnisvariablen der Anfrage bestimmen,derart, daß die entstehende Formel aus den Informationen in der Datenbank folgt.Dabei wird eine vervollständigte Folgerungsbeziehung ⊢ c verwendet, um die Defaults zuberücksichtigen. Natürlich kann ⊢ c auch durch eine modelltheoretische oder syntaktischeVervollständigung gegeben sein, wie oben beschrieben.Außerdem sind disjunktive Antworten zulässig, die mehr als eine Substitution angeben[Gre69, Rei78]. Dies erlaubt es, disjunktive Informationen in der Datenbank direktabzufragen. Würde es keine disjunktiven Antworten geben, müßte man entsprechend disjunktiveAnfragen aufschreiben und könnte niemals sicher sein, auch ausreichend vieleDisjunktionsglieder aufgeschrieben zu haben. Natürlich sind nur minimale disjunktiveAntworten interessant.Schließlich beachte man noch, daß Antworten hier alle Variablen mit Konstantenbelegen müssen (da es sich um Grundsubstitutionen handelt). Dies ist ein Unterschiedzu Prolog, wo die Antworten auch Variablen enthalten können. Tatsächlich ist dieseForderung aber bei bereichsbeschränkten Formeln sehr natürlich, denn solche Antwortenkönnten niemals logisch korrekt sein (Korollar 2.1.23). Bei Vervollständigungen ist diesdagegen nur eine Festlegung (nicht beweisbar).Natürlich gibt es eine ganze Reihe von Alternativen zu dieser Definition von korrekterAntwort. So kann man etwa den Begriff der Substitution vermeiden, wenn man stattdessendie Gleichheit verwendet (siehe etwa [Bra88]). Interessant ist auch die Definitionin [CGS89]: Hier ist eine Antwort auf eine disjunktive Anfrage ψ 1 ∨ · · · ∨ ψ n eine Disjunktionvon Grundbeispielen der ψ i , also eine Formel der Art ψ i1 θ 1 ∨· · ·∨ψ im θ m . Dies hat denEffekt, daß die Antwort spezifischer sein kann als die Anfrage (m < n), denn man erfährtauch, welche Disjunktionsglieder erfüllt sind. Allerdings dürfte in dem typischen Fall einernicht-disjunktiven Anfrage diese Art von Antworten länger und unübersichtlicher sein alsdie oben definierten.Unabhängigkeit von der SignaturDie Korrektheit einer Antwort sollte nicht davon abhängen, ob die Signatur außer denin den Axiomen und Defaults explizit auftretenden Konstanten noch weitere enthält.