Defaults in deduktiven Datenbanken

42 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENvon f in I nicht erfüllt, im Widerspruch zur Voraussetzung. Die variablenfreie Formel ψwird wieder in I und I ′ gleich ausgewertet, also gilt I ′ ̸|= ψ.✷Die beiden Einschränkungen sind auch wirklich nötig, wie man an Φ := {p(X), ¬p(X)}bzw. Φ := {X = c} sieht: In beiden Fällen würde die Erweiterung auf Signaturen mitmehr Konstanten nicht funktionieren. Natürlich treten diese Probleme bei bereichsbeschränktenFormeln nicht auf.Warum ist die Situation im Zusammenhang mit Defaults nun so viel komplizierter?Die einfachste Erklärung ist wohl, daß über die Default-Ausprägungen automatisch eineAbhängigkeit von der Signatur entsteht — ∆ ∗ enthält ja die Grundbeispiele bezüglich derjeweils betrachteten Signatur. Dadurch gilt nicht mehr, daß das Redukt eines intendiertenModells auch ein intendiertes Modell ist, oder umgekehrt ein intendiertes Modell sich zueinem intendierten Modell erweitern läßt. Das Problem sind hier die Konflikte zwischenneuen und alten Default-Ausprägungen. Bereichsbeschränkte Axiome und Defaults habennun den Vorteil, daß sie für neue Konstanten auf jeden Fall gelten, sie können also keineKonflikte verursachen.Natürlich kann man aus der obigen Definition von Vervollständigung die Signatur-Unabhängigkeit nicht herleiten, schon deshalb nicht, weil dies keine Anforderung an eineeinzelne Vervollständigung ist, diese basiert ja auf einer festen Signatur. Vielmehr ist dieseine Anforderung an die Default-Semantik, die also einer Default-Spezifikation (∆, ❁) eineVervollständigung zuordnet.Definition 2.3.5 (Unabhängig von der Signatur): Eine Default-Semantik heißtunabhängig von der Signatur, wenn für alle Signaturen Σ ⊆ Σ ′ und alle Σ-Default-Spezifikationen (∆, ❁) die zugeordneten Vervollständigungen ⊢ c Σ und ⊢c Σ ′ folgende Eigenschafthaben:Φ ⊢ c Σ ψ ⇐⇒ Φ ⊢ c Σ ′ ψ.Natürlich möchte man diese Eigenschaft auch für syntaktische und modelltheoretischeVervollständigungen formulieren. Hier werden nur hinreichende Kriterien angegeben, weildiese einfacher sind:Lemma 2.3.6: Sei Σ ⊆ Σ ′ , sel eine modelltheoretische Σ-Vervollständigung und sel ′eine Σ ′ -Vervollständigung, die folgende Bedingungen erfüllt:• Ist I ∈ sel ( Mod Σ (Φ) ) , so gibt es eine Erweiterung I ′ mit I ′ ∈ sel ′( Mod Σ ′(Φ) ) .• Ist I ′ ∈ sel ′( Mod Σ ′(Φ) ) , so gilt für das Σ-Redukt I von I ′ : I ∈ sel ( Mod Σ (Φ) ) .Dann gilt: Φ ⊢ sel ψ ⇐⇒ Φ ⊢ sel ′ ψ.Beweis: Gilt Φ ⊬ sel ψ, so gibt es I ∈ sel ( Mod Σ (Φ) ) mit I ̸|= ψ. Dazu gibt es nach der erstenBedingung eine Σ ′ -Erweiterung I ′ ∈ sel ′( Mod Σ ′(Φ) ) , für die dann natürlich auch I ′ ̸|= ψ gilt.Die umgekehrte Richtung folgt ebenso direkt aus der zweiten Bedingung.✷