Defaults in deduktiven Datenbanken

44 KAPITEL 2. DEDUKTIVE DATENBANKENDie untere Schranke Σ 0 ist nötig, weil auch die in den Defaults vorkommenden Konstantenberücksichtigt werden müssen. So ist der Default p(c) natürlich stark bereichsbeschränkt,denn er enthält ja keine Variablen. Aufgrund dieses Defaults ist aber die Antwort 〈X⊳ c〉auf die Anfrage p(X) möglich, selbst wenn c nicht in den Axiomen vorkommt.Lemma 2.3.9: Sei sel eine modelltheoretische Σ ′ -Vervollständigung, ∆ eine Σ 0 ⊆ Σ ′ -Defaultmenge und gelte:• Ist I 1 ∈ sel(I) und I 2 ∈ I mit { ∣δ ∈ ∆ ∗ Σ I ′ 1 |= δ } ⊆ { ∣δ ∈ ∆ ∗ Σ I ′ 2 |= δ } , so istI 2 ∈ sel(I).Dann erzeugt ⊢ sel keine Antworten außerhalb von Σ 0 .Beweis: Wäre ψθ m+1 ∨ · · · ∨ ψθ n in der Disjunktion nötig, so müßte es I 1 ∈ sel ( Mod(Φ) )geben mit I 1 ̸|= ψθ i für i = 1, . . . , m. Sei nun folgende Σ-Formelmenge betrachtet:Φ ∪ { δ ∈ ∆ ∗ ∣Σ I 1 |= δ }(hier wird benötigt, daß ∆ eine Σ 0 ⊆ Σ-Formelmenge ist). Natürlich ist I 1 ein Σ ′ -Modell dieserFormelmenge, und daher ist das Σ-Redukt I von I 1 ein Σ-Modell. Sei nun I 2 eine Standard-Erweiterung von I auf Σ ′ . Dann gilt{ δ ∈ ∆∗ ∣ Σ ′ I 1 |= δ } ⊆ { δ ∈ ∆ ∗ ∣ Σ ′ I 2 |= δ } ,denn von den Default-Ausprägungen aus ∆ ∗ Σ erfüllt I 2 dieselben wie I 1 , und die übrigen Default-Ausprägungen ∆ ∗ Σ− ∆ ∗ ′ Σ erfüllt I 2 nach Lemma 2.1.20 alle. Also ist I 2 ∈ sel ( Mod(Φ) ) .Ebenfalls nach Lemma 2.1.20 gilt aber I 2 ̸|= ψθ j für j = m + 1, . . . , n (dies ist ja äquivalentzu (I 2 , θ j ) ̸|= ψ). Da I 2 mit I 1 auf Σ übereinstimmt gilt natürlich auch I 2 ̸|= ψθ i für i = 1, . . . , m.Das bedeutet aber Φ ⊬ sel ψθ 1 ∨ · · · ∨ ψθ n .✷Diese Eigenschaft wird in Kapitel 4 noch gründlicher untersucht (Eigenschaft SCD). Allein Kapitel 5 definierten Default-Semantiken haben diese Eigenschaft.Lemma 2.3.10: Sei comp eine modelltheoretische Σ ′ -Vervollständigung und ∆ eineΣ 0 ⊆ Σ ′ -Defaultmenge mit:• comp(Φ) − Φ ist äquivalent zu einer Menge von ∧/∨-Verknüpfungen von Default-Ausprägungen ∆ ∗ Σ ′.Dann erzeugt ⊢ comp keine Antworten außerhalb von Σ 0 .Beweis: Der Beweis verläuft ganz entsprechend zu dem von Lemma 2.3.9. ✷Hat man die Unabhängigkeit von der Signatur und diese Eigenschaft, so reicht es aus,nur die Signatur Σ aus den in Φ und ∆ wirklich vorkommenden Symbolen zu betrachten(anstelle der eigentlich vereinbarten Signatur Σ ′ ). Antworten, die Konstanten aus Σ ′ − Σenthalten, sind auf jeden Fall nicht minimal. Die Unabhängigkeit von der Signatur erlaubtes, zur Überprüfung der Korrektheit der übrigen Antworten nur Σ zu betrachten.Da Φ und ∆ endlich sind, ist Σ endlich. Dann ist aber auch die Menge aller Herbrand-Interpretationen I Σ endlich. Dies erlaubt es etwa, jede Teilmenge I ⊆ I Σ durch eineFormel th(I) zu beschreiben.Im folgenden (Kapitel 4 und 5) werden daher nur noch endliche Signaturen betrachtet.