Defaults in deduktiven Datenbanken

2.2. INTENDIERTE MODELLE 31Ein typisches Beispiel für eine modelltheoretische Vervollständigung ist die Auswahl vonminimalen Modellen bezüglich einer Präferenzrelation ≺ auf I Σ . Auch hier ist die Ordnungaus historischen Gründen ”verkehrt herum“: I 1 ≺ I 2 bedeutet, daß I 1 die Defaultsbesser als I 2 erfüllt. Die ≺-minimalen Elemente der Modellmenge I von Φ erfüllen dieDefaults dann also am besten (unter den durch Φ gegebenen Einschränkungen). DieseArt von Vervollständigungen wird noch ausführlich in Kapitel 5 untersucht.Solche Auswahlfunktionen sind natürlich besonders übersichtlich, wenn I Σ endlich ist,was hier durch die Beschränkung auf Herbrandinterpretationen und die Signatur aus dentatsächlich vorkommenden Symbolen erreicht wird (s.u.).Dann läßt sich jede Vervollständigung als eine Tabelle beschreiben, in der für jedeTeilmenge von I Σ die ausgewählten Modelle angegeben werden. Natürlich ist dies nur fürsehr kleine Signaturen Σ praktisch durchführbar, denn für eine Signatur mit n Aussagenvariablenhat I Σ schon 2 n Elemente (mögliche Interpretationen). Dann gibt es also 2 2nTeilmengen von I Σ , d.h. Eingaben I für sel (die nicht-äquivalenten Axiomenmengen Φentsprechen).Wenn die Signatur etwa zwei Aussagenvariablen p und q enthält, so gibt es vier Herbrandmodelle:[pq] (p und q sind wahr), [p¯q] (p wahr, q falsch), [¯pq] (umgekehrt) und [¯p¯q](beide falsch). In der tabellarischen Darstellung sind nun für jede der 16 Teilmengen Ijeweils die intendierten Modelle (sel(I)) mit • und die übrigen Modelle (I − sel(I))mit ◦ gekennzeichnet. Zur besseren Übersicht sind zusätzlich noch Formelmengen Φ mitMod(Φ) = I und comp(Φ) mit Mod ( comp(Φ) ) = sel(I) angegeben, diese sind natürlichnur bis auf Äquivalenz eindeutig.So könnte man die minimalen Modelle (siehe Kapitel 5) mit den Defaults ¬p und ¬qdurch folgende Tabelle beschreiben:Φ [pq] [p¯q] [¯pq] [¯p¯q] comp(Φ)falsefalse¬p, ¬q • ¬p, ¬q¬p, q • ¬p, q¬p ◦ • ¬p, ¬qp, ¬q • p, ¬q¬q ◦ • ¬p, ¬qp ↔ ¬q • • p ↔ ¬q¬p ∨ ¬q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp, q • p, qp ↔ q ◦ • ¬p, ¬qq ◦ • ¬p, q¬p ∨ q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp ◦ • p, ¬qp ∨ ¬q ◦ ◦ • ¬p, ¬qp ∨ q ◦ • • p ↔ ¬qtrue ◦ ◦ ◦ • ¬p, ¬q✓ ✏[pq]✒✁ ✁ ✑❆❆✓✁✏ ✓❆[¯pq] [p¯q]✒ ✑ ✒✁ ❆❆ ✁✓ ❆ ✁✏[¯p¯q]✒ ✑✏✑