Strukturerhaltende Approximationen von Wurzel ... - G-CSC Home

Abbildung 4: Wurzel-Prozessa(x, t) = κ(θ − X(t)), b(X, t) = σX(t) → dX(t) = κ(θ − X(t))dt + σX(t)dW (t)Für den Erwartungswert und die Varianz gilt hier, nach (2.1):Mean-reversion-EffektE[dX(t)] = κ(θ − X(t))dt und V ar[dX(t)] = σ 2 X(t) 2 dW (t).Mean-Reversion-Prozesse besitzen in dem Driftterm die folgende Eigenschaft:Wenn der Prozess X(t) unter das Gleichgewichtniveau θ kommt, dann besitzt der Prozesseine positive Driftrate, geht der Prozess über das Gleichgewichtsniveau, so hat erdementsprechend eine negative Driftrate. Das bedeutet, dass der Prozess von der Stärkeder Regulierungsfunktion κ in Abhängikeit der Entfernung des Prozesses zum Gleichgewichtsniveauwieder zum Gleichgewichtsniveau gezogen wird. Aus dieser Eigenschaftfolgt, dass der Prozess in Erwartung stets gegen das Gleichgewichtsniveau driftet. Diesertendenzielle Zug wird durch den stochastischen Diffusionsanteil überlagert. So ist esmöglich, dass man trotz negativer Driftrate, durch hohen Diffusionseinfluss, einen positivenZuwachs erhält. Je weiter sich der Prozess vom Gleichgewichtsniveau entfernt,desto größer wird die Wahrscheinlichkeit, dass der Prozess X(t) im nächsten Schritt inRichtung θ zurückkehrt. Dieser Effekt wird Mean-reversion-Effekt genannt.Wählt man κ < 0, so hätte der Prozess völlig andere Eigenschaften:Für X(0) > θ würde der Prozess X(t) gegen +∞ divergieren. Anderenfalls, also X(0)