Strukturerhaltende Approximationen von Wurzel ... - G-CSC Home

2. Die Anfangszufallsvariable X t0 sei nicht antizipativ bzgl. des Wiener Prozesses W tmitE(X 2 t 0) < ∞.BeweisUnter diesen beiden Voraussetzungen besitzt die Ito-stochastische DifferentialgleichungdX t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dW teine eindeutige Lösung auf [t 0 , T ] mit Anfangswert X t0 .Eine Idee des Beweises gibt [10].3.2. Euler-VerfahrenHerleitungDie Herleitung des stochastischen Euler-Verfahrens hat dieselbe Motivation, wie die Herleitungdes deterministischen Euler-Verfahrens. Dazu betrachten wir die stochastischeDifferentialgleichung (Ito-SDGL)dX(t) = a(X, t)dt + b(X, t)dW (t)auf dem Intervall [t 0 , T ] mit Anfangswert X(0). Die Lösung X(t) genügt der stochastischenIto-IntegralgleichungX(t) = X(0) +∫ tt 0a(X, s)ds +auf dem Intervall [t 0 , T ], sowie der Integralgleichung∫ tn+1∫ tt 0b(X, s)dW (s)∫ tn+1X(t n+1 ) = X(t n ) + a(X, s)ds + b(X, s)dW (s)t n t nauf dem Teilintervall [t n , t n+1 ] von [t 0 , T ]. Wie im deterministischen Fall kann man jetztdie Integrandenfunktionen a und b zu der Auswertungsstelle t n = s “einfrieren”. Darauserhalten wir die folgende Approximationmit∫ tn+1∫ tn+1X(t n+1 ) ≈ X(t n ) + a(X, t n )ds +t n t n∫ tn+1= X(t n ) + a(X, t n ) + 1 · ds + b(X, t n )t nb(X, t n )dW (s)∫ tn+1= X(t n ) + a(X, t n )∆ n + b(X, t n )∆W n∆ n = t n+1 − t n =∫ tn+1t n1 · dW (s)t n1 · ds mit einem Fehler O(h)∫ tn+1∆W n = W (t n+1 ) − W (t n ) = 1 · dW (s) mit einem Fehler O( √ h)t nDiese Approximation scheint konsistent mit der Definition des Ito-Integrals zu sein.13