Strukturerhaltende Approximationen von Wurzel ... - G-CSC Home

• Durch pfadweise Integration erhalten wirJetzt müssen wir uns nur nochI (0,1) = ∆ n W (t n+1 ) −= ∆ n [W (t n+1 ) − W (t n )] −I (1,0) =∫ tn+1t n∫ tn+1t n= ∆ n ∆W − I (1,0)∫ tn+1t n[W (s) − W (t n )]dsW (s)ds[W (s) − W (t n )]dsanschauen. Wir wissen: Es gilt Identität I (1,0) +I (0,1) = I (0) I (1) , ausserdem kennen wir dieVerteilungen I (0,1) ∼ N(0, ∆3 n3). Und zusätzlich kennen wir die Korrelation E[I (1,0) I (1) ] =∆ 2 n2. Wir können ∆W und I (1,0) mit ∆W und ∆Z mit folgender Verteilung( ∆W∆Z)(∼ N 0,(1 ∆n2 ∆2 n12 ∆2 1n 3 ∆3 nsimulieren. Daraus erhalten wir das folgende Schema 2.OrdnungX(n + 1) = X(n) + a∆ n + b∆W + (ab ′ + 1 2 b2 b ′′ )[∆W ∆ n − ∆Z]) )+a ′ b∆Z + 1 2 bb′′ [∆W 2 − ∆ n ]+(aa ′ + 1 2 b2 a ′′ ) 1 2 ∆2 n3.8. Vektorwertige stochastische DifferentialgleichungenWir haben die DarstellungX i (t n+1 ) = X i (t n ) +∫ tn+1t na i (u)du +m∑k=1∫ tn+1t nb i,k dW k (u), i = 1, . . . , dmit X i d-dimensionaler Zufallsvektor und W k m-dimensionaler Wiener-Prozess.Sei X(t) = (X 1 t , . . . , X d t ) T eine Lösung der d-dimensionalen Ito-SDGLdX(t) = a(X, t)dt +m∑b k (X, t)dW j twobei W (t) = (Wt 1 , . . . , Wtm ) t ein m-dimensionaler Wiener-Prozess ist.Sei U : [0, T ] × R d → R 1 und definiere Y (t) = U(X, t). Dann lautet die Ito-FormeldY (t) = L 0 U(X, t)dt +k=1m∑L k U(X, t)dWtkk=121