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Abbildung 1: Pfad eines Wiener ProzessesMit dem nachstehenden Algorithmus kann man einen Pfad eines Wiener Prozesses simulieren:% Simulation eines Pfades des Wiener ProzessesInput h = 0.01 % SchrittweiteW (1) = 0 % Startwertfor i = 1 : 100W (i + 1) = W (i) + randn ∗ √ hendDer Befehl “randn” erzeugt standardnormalverteilte Zufallsvariablen in Matlab.In Abbildung (4.5.3) wird ein Pfad eines Wiener Prozesses und seinem Mittelwert dargestellt.Als nächstes wird ein weiterer wichtiger stochastischer Prozess eingeführt, der Ito-Prozess.Definition [Ito-Prozess]Ein stochastischer Prozess X(t), der folgender stochastischen DifferentialgleichungdX(t) = a(X, t)dt + b(X, t)dW (t) (2.1.4)mit dW (t) ∼ Z(t) √ dt und Z(t) ∼ N(0, 1) genügt, heißt Ito-Prozess. W (t) stellt einenWiener Prozess dar und Z(t) ist eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Die stochastischeDifferentialgleichung (2.1.4) wird auch Ito-stochastische Differentialgleichung7
genannt. Der Parameter a(X, t) heißt Drift- und der Parameter b(X, t) Diffusionskoeffizient.Diese können sowohl von der Zeit t, als auch von der stochastischen VariablenX(t) abhängen. Durch die Wahl der Parameter a(X, t) und b(X, t) kann man den inDefinition (2.3) beschriebenen Prozess X(t) spezifizieren.Satz [Erwartungswert und Varianz der Ito-Gleichung][vgl. [3], p.20]Für den Erwartungswert und die Varianz der Ito-Gleichung gilt:E[dX(t)] = a(X, t)dt (2.1.5)V ar[dX(t)] = E[dX(t) − E[dX(t)] 2 ] = E[(b(x, t)dW (t)) 2 ] = b(X, t) 2 dt (2.1.6)2.2. Lemma von ItoSei X(t) ein Ito-Prozess und f : R + × R → R eine in der ersten Komponente einfachund in der zweiten Komponente zweifach stetig differenzierbare Funktion, so ist auchY t := f(X t , t) ein Ito-Prozess und es gilt:Beweisdf = ( ∂f∂t + a∂f ∂x + 1 2 b2 ∂2 f)dt + b∂f dW. (2.2.1)∂x2 ∂xEine Beweisskizze dieses Lemmas findet man beispielsweise in [3].2.3. Spezielle stochastische ProzesseIn diesem Kapitel der Bachelorarbeit werden einige spezielle stochastische Prozesse vorgestellt.Auf den Wurzel-Diffusionsprozess wird im Kapitel 4.0.1 näher eingegangen. DieAbbildungen in diesem Kapitel wurden mittels dem Euler-Maruyama-Verfahren erstellt.Dieses sowie andere Diskretisierungsverfahren werden im nächsten Kapitel erläutert.Prozesse, die auf konstanten Koeffizienten beruhenBei Prozessen, die auf stochastischen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizientenberuhen werden der Drift- und Diffusionsparameter konstant gewählt. Sie sind somitweder von der Zeit t, noch von der stochastischen Zufallsvariable X(t) abhängig. Diesist der einfachste Fall einer stochastischen Differentialgleichung. Es gilt:a(x, t) = µ, b(X, t) = σ → dX(t) = µdt + σdW (t)Es ergibt sich nach (2.1) für den Erwartungswert und die VarianzE[dX(t)] = µdt und V ar[dX(t)] = σ 2 dW (t).8
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Seite 22 und 23: • Durch pfadweise Integration erh
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