Strukturerhaltende Approximationen von Wurzel ... - G-CSC Home

4.1. Definition [CIR-Modell]Das CIR-Modell ist durch die stochastische DifferentialgleichungdX(t) = κ(θ − X(t))dt + σ √ X(t)dW (t) (4.1.1)gegeben. Die Parameter κ ≥ 0, θ > 0, σ seien reell und W (t), t ≥ 0 sei ein WienerProzess. Bei diesem Prozess findet im Driftterm die Idee der Mean-Reversion Anwendung.Der beschriebene Prozess X(t) wird mit der Mean-Reversion-Stärke κ zumMean-Reversion-Niveau θ gezogen. Das CIR-Modell ist eine Zusammensetzung aus einemMean-Reversion-Prozess sowie einem Wurzel-Prozess. Vorausgesetzt es gelten diefolgenden BedingungenX(0) > 0 sowie 2κθ ≥ σ 2 ,so kann es beim CIR-Modell auf Grund der Proportionalität der Volatilität σ zu √ X(t)fast sicher zu keinen negativen Werten kommen. Wenn der Prozess die Nullinie erreicht,das heißt X(t) = 0, wird auch der gesamte Diffusionsterm σ √ X(t) auf Null gesetzt.Dann kommt das Mean-Reversion-Prinzip zum Tragen und es können nur noch Werteauftreten, die sich näher am Mean-Reversion-Niveau befinden.Es existiert keine geschlossene Lösung für diesen Prozess, was die analytische Umgänglichkeitdes Prozess erschwert. Allerdings kann man mit Hilfe der Übergangsdichte,welche bekannt ist, Pfade exakt simulieren.4.2. Übergangsdichte eines stochastischen ProzessesMit der Übergangsdichte ρ(x) eines Prozesses kann die Wahrscheinlichkeit, dass derProzess zum Zeitpunkt t n+1 einen Wert zwischen a und b annimmt, vorausgesetzt, dassder Prozess zum Zeitpunkt t n gleich X war, angegeben werden.ρ(X ′ , t n+1 |X, t n ) bezeichnet die Übergangsdichte, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt,dass der Prozess zur Zeit t n gleich X ′ , unter der eben genannten Bedingung, so gilt:P (a ≤ X(t n+1 ) ≤ b|X(t n ) = X) =∫ bap(X ′ , t n+1 |X, t n ). (4.2.1)Alle betreffenden Informationen des Prozesses sind in der Übergangsdichte enthalten.Die Übergangsdichte des CIR-Modells ist durch eine nichtzentrale Chi-Quadratverteilunggegeben.4.3. Parameterbeschreibung• θ ist das Gleichgewichtsniveau des Prozesses, auch Mean-Reversion-Level genannt.• κ gibt die Stärke der Regulierungsfunktion an, man sagt auch Mean-Reversion-Speed.• σ ist die Volatilität des Prozesses.24