Strukturerhaltende Approximationen von Wurzel ... - G-CSC Home

4.4. PropositionSei X(0) ≥ 0. Wenn 2κθ ≥ σ 2 (Stabilitätsbedingung) gilt, so ist der Prozess fast sicherstrikt positiv für alle t ≥ 0.BegründungDer Grund für die in (4.4) gegebene Bedingung ist, wenn X(t) gegen 0 konvergiert, dassauch der Diffusionsterm gegen 0 konvergiert. Dann wird der Prozess vom positiven Driftnach oben gezogen.4.5. Chi-Quadratverteilung / nichtzentrale Chi-Quadratverteilung[vgl. [5], pp.122-124]Wie bereits erwähnt, hat das CIR-Modell als Übergangswahrscheinlichkeit die nichtzentraleChi-Quadratverteilung. Diese wird in diesem Teil der Arbeit definiert und erläutert.Wenn ν eine positive ganze Zahl ist und Z 1 , . . . Z ν unabhängige standardnormalverteilteZufallsvariablen sind, so heißt die Verteilung vonZ 2 1 + · · · + Z 2 νChi-Quadratverteilung mit ν Freiheitsgraden. Im Zeichen Xν 2 . Die Xν 2 -Verteilung ist gegebendurch∫P (Xν 2 1 y≤ y) =2 ν 2 Γ( ν 2 ) e − z ν2 z 2 −1 dz (4.5.1)mit einer Gamma-Verteilung Γ und es gilt Γ(n) = (n − 1)!, wenn n eine positive ganzeZahl ist. Dieser Ausdruck definiert eine gültige Wahrscheinlichkeitsverteilung für ν > 0und ist damit auch die Definition für nicht-ganzzahlige ν.Für n ∈ N und a 1 , . . . , a ν konstant ist die Verteilung von0ν∑(Z i + a i ) 2 (4.5.2)i=1die nichtzentrale Chi-Quadratverteilung (X ′ 2ν ) mit ν Freiheitsgraden und λ = ∑ νi=1 a2 idem Nichtzentralitätsparameter. Es gilt:= e − λ 2P (X ′ 2ν (λ) ≤ y) = F X′ (λ)(y)2∞∑j=0( 1 ∫2 λ)j /j! y2 ( ν 2 )+j Γ( ν 2 + j)für y > 0. Aus (4.5.3) folgt, dass für ν > 1 und ν ganzzahlig gilt0νz ( ν 2 )+j−1 e − z 2 dz. (4.5.3)X ′ 2ν (λ) = X ′ 21 (λ) + X 2 v−1. (4.5.4)25