Strukturerhaltende Approximationen von Wurzel ... - G-CSC Home

3.6. Methoden 2. OrdnungBetrachte Ito-SDGLdX(t) = a(X, t)dt + b(X, t)dW (t)Eine Lösung X(t) auf dem Intervall [0, T ] genügt der stochastischen IntegralgleichungX(t) = X(0) +∫ t0a(X, s)ds +∫ t0b(X, s)dW (s)Für jedes zweimal stetig differenzierbare U lautet die stochastische Kettenregeloder in IntegralformmitdU(X, t) = L 0 U(X, t)dt + L 1 U(X, t)dW (t)U(X, t) = U(X(0)) +∫ t0L 0 U(X, s)ds +∫ tL 0 U = ∂U∂t + a∂U ∂x + 1 2 b2 ∂2 U∂x 2L 1 U = b ∂U∂xJetzt haben wir 2 Integrale, die wir weiterentwickeln können.0L 1 U(X, s)dW (s)U ≡ a im Riemann-Integral∫ t0 a(X, s)ds = ∫ (t0a(X, 0) + ∫ s0 L0 a(X, τ)dτ + ∫ s0 L1 a(X, τ)dW τ)ds∫ t0U ≡ bb(X, s)dW s =+∫ s0∫ t0im Ito-Integral(b(X, 0) +∫ sL 1 b(X, τ)dW τ)dW s0L 0 b(X, τ)dτDaraus erhalten wir den ersten Schritt der Taylor-Approximation++X(t) = X(0) + a(X, 0)∫ t ∫ s0 0∫ t ∫ s00L 0 a(X, τ)dτds +L 0 b(X, τ)dτdW s +∫ tdt + b(X, 0)0∫ t ∫ s0 0∫ t ∫ s00∫ t0dW sL 1 a(X, τ)dW τ dsL 1 b(X, τ)dW τ dW s19