Gottlob Frege - Hochschule Wismar

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sche Formen, reelle Zahlen und Zahlengerade, Zahlenkoordinaten in der Analytischen
Geometrie). In der modernen Mathematik gibt es auch auf höherer
Ebene ein Wechselspiel von Qualität und Quantität.
Arithmetik und Geometrie haben nicht nur in der Frühphase von FREGEs Mathematikforschung,
sondern auch bei seinen Versuchen zur Begründung der
Mathematik eine wichtige Rolle gespielt.
5. Philosophische Fragen der Mathematik
Was sind überhaupt (natürliche) Zahlen? Diese Frage hat Mathematiker und
Philosophen immer wieder beschäftigt. Sind sie freie Schöpfungen des
menschlichen Geistes oder existieren sie auch außerhalb des (einzelnen oder
allgemeinen) Bewusstseins? Und wenn ja, wo bzw. wie existieren sie:
• nur im Bewusstsein des Einzelnen (subjektiver Idealismus)?
• in einem Ideenreich (Platonismus)?
• direkt in der Wirklichkeit (Empirismus)?
• als Abbilder (Abstraktionen) der Wirklichkeit (Materialismus)?
Auch für FREGE war der Zahlbegriff ein wichtiger Ausgangspunkt seiner Überlegungen.
Welche Existenzkriterien sollte man fordern? Reicht vielleicht logische Widerspruchsfreiheit
oder braucht man zur Absicherung darüber hinaus Konstruierbarkeit?
Wie sicher ist Mathematik überhaupt? FREGE rügte fehlerhafte Darlegungen
in mathematischen Lehrbüchern. Vermutlich wäre er auch heute mit vielen
Lehrbüchern nicht eiverstanden. Er trachtete nach Präzision und Perfektion.
FREGE erkannte, dass die natürliche Sprache sehr anfällig gegenüber Missdeutungen
und fehlerhaften Schlüssen ist. Die Benutzung umgangssprachlich
formulierter logischer Argumente bei mathematischen Beweisen erschien ihm
jedenfalls problematisch, weil dann immer Zweifel an der Korrektheit bleiben.
6. FREGEs Kritik am Zahlbegriff
FREGE stellte fest, dass der Zahlbegriff nicht klar war. Es gab in der Geschichte
unzählige Beiträge dazu (Mystik, verschiedene Deutungen durch philosophische
Strömungen, axiomatische Fassung, Fassung als formales Regelsystem),
aber keine präzise inhaltliche Bestimmung. Auch die Begriffe und
Axiome von EUKLID in der Geometrie waren keineswegs befriedigend. Es
fehlten zudem zweifelsfreie Beweismittel. Die Schlussregeln der Logik (Syllogistik)
gingen noch auf ARISTOTELES (384-322 v.d.Z.) zurück. Auch neuere
Beiträge zur Logik hatten bisher keinen entscheidenden Durchbruch gebracht.