Gottlob Frege - Hochschule Wismar

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se „Vergewaltigung des Unendlichen“ hatte viele Gegner, die befürchteten,
damit die Kontrolle zu verlieren und den Widersprüchen alle Türen zu öffnen.
Noch auf dem Mathematikerkongress 1900 verkündete der große französische
Mathematiker POINCARE, dass die Mengenlehre die Grundlage der gesamten
Mathematik darstellt. Inzwischen waren aber von CANTOR selbst und anderen
verschiedene logische Widersprüche in der Mengenlehre entdeckt worden
(Antinomien, Konjunktionen einer Aussage und seiner Negation: A ∧¬ A),
z.B. bei der
• Menge aller Ordinalzahlen (CANTOR 1895),
• Menge aller Kardinalzahlen (CANTOR 1895),
• Menge aller Mengen (CANTOR 1899),
• Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten,
(RUSSELL 1902, ZERMELO um 1900).
Offenbar ist die Menge aller Mengen wieder eine Menge, und zwar eine, die
sich selbst als Element enthält. Normalerweise enthält sich eine Menge nicht
selbst als Element. Was ist aber nun mit der Menge aller solcher normaler
Mengen. Nimmt man an, dass sie sich selbst als Element enthält, dann enthält
sie sich nicht selbst als Element. Enthält sie sich andererseits nicht selbst als
Element, dann enthält sie sich selbst als Element. Diese Antinomie von
RUSSELL führte, wie schon erwähnt, auch zum Scheitern der Axiomatik im
Logiksystem von FREGE [Heitsch76: S. 300f.]. RUSSELL erkannte jedoch
den großen Wert von FREGEs Grundideen und setzte dessen logizistisches
Programm fort.
12. Zu den Ursachen der Antinomien
Die Entdeckung der Antinomien stürzte die Mathematik in eine schwere Krise.
Gerade die Wissenschaft, die Vorbild und Maßstab für andere Wissenschaften
war, schien selbst auf tönernen Füßen zu stehen. Am Krankenbett der Mathematik
wurden die verschiedensten Diagnosen gestellt und je nachdem die verschiedensten
Therapien vorgeschlagen:
- Verbannung des aktual Unendlichen aus der Mathematik:
• Objekte existieren nur, wenn man sie mit unzweifelhaften endlichen
Methoden konstruieren kann. Diese Forderung führte zur konstruktiven
Mathematik (Programm). Die philosophische Strömung heißt Intuitionismus.
- Einschränkung der Mengenbildung: