Gottlob Frege - Hochschule Wismar

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Zahlen sind bei FREGE Klassen ähnlicher Klassen (Mengen gleichzahliger
bzw. allgemeiner gleichmächtiger Mengen), d.h.
• 0 als Klasse aller Klassen ohne Element
• 1 als Klasse aller Klassen mit einem Element (alles Einfachen)
• 2 als Klasse aller Klassen mit zwei Elementen (alles Zweifachen)
usw.
Genauer benutzte FREGE eine logische Formulierung, nämlich für die Zahl 0
die Klasse des Begriffes „sich selbst ungleich“, unter den kein Gegenstand
fällt, und für die Zahl 1 die Klasse des Begriffes 0, unter den genau ein Gegenstand
fällt, nämlich die 0, usw.
Da die Nachfolgerfunktion und die vollständige Induktion logisch definierbar
sind, gelangt man so zur Arithmetik der natürlichen Zahlen (im Sinne von
PEANO). Bei diesem Konzept werden die Zahlenoperationen auf Mengenoperationen
(Klassenoperationen) zurückgeführt (Addition auf Vereinigung und
Durchschnitt).
Der Logizismus geht davon aus, dass die Mathematik eine Frucht der Logik,
eine entwickelte Logik ist. Grundbegriffe der Mathematik lassen sich hiernach
durch explizite Definitionen auf Grundbegriffe der Logik zurückführen, während
mathematische Sätze durch logische Schlüsse aus logischen Sätzen hergeleitet
werden [Heitsch76: S. 168f.]. Als Urvater des Logizismus wird
LEIBNIZ (1646-1716) angesehen. Nach FREGE verfolgten auch RUSSELL
(1872-1970) und CARNAP (1891-1970) logizistische Programme aus teilweise
unterschiedlichen philosophischen Positionen (Platonismus, Empirismus,
Positivismus) [Russell05: S. 387f.].
Der Logizismus stieß aber an unüberwindliche Grenzen. FREGE erkannte
selbst, dass sich reelle Zahlen nicht als Begriffsumfänge definieren lassen. Er
führte eine neue Sorte von Zahlen ein, so genannte Maßzahlen. Der Versuch,
die Logik über die Arithmetik der natürlichen Zahlen hinaus auszudehnen,
muss aus heutiger Sicht als gescheitert angesehen werden.
Es gab aber noch andere Einwände. Nach allgemeinem Verständnis gehörten
Existenzbehauptungen nicht in das Gebiet der Logik. Es fällt auf, dass die
Modelle von PEANOs Axiomensystem unendlich viele Elemente enthalten.
Das Axiom 4 der natürlichen Zahlen erfordert die Existenz unendlicher Mengen.
Beim weiteren Ausbau der Mathematik wird oft das Auswahlaxiom eingesetzt,
nach dem man aus unendlichen Mengen einzelne Elemente herausnehmen
kann, ohne ein Verfahren zur Hand zu haben, wie das geschehen soll.
Dieses Axiom hat ebenfalls keinen logischen Charakter.
Weitere Fragen im Zusammenhang mit dem Logizismus sind:
• Was ist überhaupt Logik? Heute kennt man die verschiedenartigsten
Logiken (mehrwertige Logiken, Fuzzy-Logik usw.). Welche Logik wird