Gottlob Frege - Hochschule Wismar

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• N , 0 , +1 natürliche Zahlen (Beginn: 0, Addition von 1),
• N , 1 , +1 natürliche Zahlen (Beginn: 1, Addition von 1),
• 2N, 2, +2 gerade natürliche Zahlen (Beginn: 2, Addition von 2),
n • (1/2) , 1/2, ⋅1/2
negative Zweierpotenzen (Beginn: ½, Multiplikation
mit ½),
• ( an) , a0 , n → n+
1 unendliche Folge ohne Wiederholungen (Beginn: erstes
Glied, Übergang zum Folgeglied).
Auch das ist für FREGE noch unbefriedigend, denn die natürlichen Zahlen
sollen genau die Objekte sein, die wir beim Zählen von Gegenständen (Fingern,
Äpfeln, Sternen) verwenden.
7. Philosophische Auffassungen von FREGE zur Mathematik
Ausgangspunkt war für FREGE die Philosophie von KANT. Die Objekte der
Mathematik (wie z.B. die Zahlen) waren für ihn nicht nur im Einzelbewusstsein
vorhanden, sondern auch in einem von der Wirklichkeit abgeleiteten
Reich der Ideen, das intersubjektiv zugänglich ist, aber außerhalb physikalischer
Wirkungen steht. Man spricht hier von mathematischem Platonismus,
obwohl die Auffassungen nicht völlig mit denen des Ideenreiches beim antiken
Philosophen PLATON übereinstimmen, das primär gegenüber der Wirklichkeit
sein sollte. FREGE grenzte sich mit seiner Auffassung aber von psychologistischen
und empiristischen Standpunkten ab, nach denen mathematische
Objekte nur sinnliche Vorstellungen sind bzw. direkt in der Natur vorkommen.
Entschieden kämpfte er aber auch gegen die Auffassung, dass Zahlen
nur Figuren in einem Spiel sind, dessen Regeln die Axiome darstellen
(Formalismus, Positivismus). Da Zahlen nicht wahrnehmbar sind, gehörten sie
für ihn nicht unmittelbar zur Wirklichkeit. Zahlen waren seiner Meinung nach
Begriffe, die definiert (eindeutig festgelegt) werden müssen, um ihnen eine
klare Bedeutung zu geben.
Axiome waren für FREGE keine freien Erfindungen, sondern mathematische
Reflektionen der Wirklichkeit. Deshalb war aus seiner Sicht EUKLIDs berühmtes
Parallelenaxiom entweder richtig oder falsch. Dabei glaubte er natürlich
an seine Richtigkeit, d.h., zu einer Geraden g in der Ebene und zu einem
außerhalb der Geraden liegenden Punkt P der Ebene gibt es genau eine zu g
parallele Gerade, die P enthält. Hinsichtlich der Rolle der Axiome führte
FREGE eine Auseinandersetzung mit HILBERT, jenem berühmten deutschen
Mathematiker, der die Axiomatisierung der gesamten Mathematik betrieb.
HILBERT sah Axiome nur als formale Postulate an.