Gottlob Frege - Hochschule Wismar

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Die Mathematik ist nicht Teil der (mathematischen) Logik. Verschiedene
Spielarten der Mathematik benötigen verschiedene Logiken (zum Schließen).
Diese Spielarten unterscheiden sich teilweise auch in ihren Grundannahmen.
Es gibt sie ohne und mit
• Satz vom ausgeschlossenen Dritten (klassische zweiwertige Logik),
• Induktionsaxiom (natürliche Zahlen),
• Auswahlaxiom (Mengenlehre),
• Kontinuumhypothese (Mengenlehre).
Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist eine Aussage entweder wahr
oder falsch. Etwas Drittes gibt es nicht.
Die Kontinuumhypothese besagt, dass zwischen der Mächtigkeit der natürlichen
und der reellen Zahlen keine weiteren Mächtigkeiten liegen.
Es gibt aber auch keine scharfe Trennlinie zwischen Mathematik und Logik.
Teile der Logik kann man mit mathematischen Methoden erfassen (z.B. algebraische
Fassung der Aussagenlogik durch BOOLE).
Die axiomatische Methode hat ihre Grenzen. Seit der Entdeckung nichteuklidischer
Geometrien (LOBATSCHEWSKI 1829) ist klar, dass Axiome keine
ewigen Wahrheiten darstellen, wie man lange glaubte.
Weitere einschneidende Erkenntnisse verdanken wir vor allem GÖDEL (1906-
1978). Je nach dem zugrunde liegenden Modell sind verschiedene, teilweise
auch miteinander konkurrierende Axiomensysteme denkbar. Die Widerspruchsfreiheit
eines solchen Systems ist im Allgemeinen aber nicht im System
beweisbar. Auf der anderen Seite gibt es aber relative Widerspruchsfreiheitsbeweise,
z.B. das Verhältnis von Arithmetik und Geometrie betreffend.
Die Arithmetik ist genauso sicher wie die Geometrie. Widersprüche in einem
der Bereiche würden auch Widersprüche im anderen Bereich nach sich ziehen.
Die Vollständigkeit eines Axiomensystems ist im Allgemeinen nicht erreichbar,
insbesondere auch die der Arithmetik der natürlichen Zahlen nicht. Es
gibt wahre Aussagen, die man im System nicht beweisen kann. Es gibt falsche
Aussagen, die man im System nicht widerlegen kann. Trotzdem kann die
Wahrheit (bzw. Falschheit) solcher Aussagen auf anderem Wege nachgewiesen
werden (durch Erweiterung des Axiomensystems oder in einem entsprechenden
Modell dieses Systems direkt). Neben dem axiomatischen Schließen
gibt es auch ein semantisches Schließen. Eine Aussage A2 eines axiomatisierten
Systems folgt semantisch aus einer anderen Aussage A1, wenn die Wahrheit
von A1 in allen Modellen des Systems die Wahrheit von A2 bedeutet.
Mathematik hat einen hohen Grad der Verlässlichkeit. Es gibt aber zu keiner
Zeit eine absolute Garantie für die Richtigkeit der (gesamten) Mathematik. Die
moderne Mathematik ist sehr vielschichtig. Die Entwicklung der Mathematik
ist ein unbegrenzter Prozess in alle Richtungen. Die Erschließung neuer An-