2. GLEICHUNGEN, GLEICHUNGSSYSTEME - Mathe Online

2.3. Gebrochen rationale Gleichungen
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Gleichungen, Gleichungssysteme
Unter gebrochen rationalen Gleichungen versteht man Gleichungen, in denen Bruchterme vorkommmen.
Zum Lösen dieser Gleichungen ist entscheidend, ob die Variable im Nenner vorkommt oder nicht. Kommen
in den Nennern nur Zahlen vor (Beispiele waren genaugenommen schon im vorigen Abschnitt
Textaufgaben), wird mit dem gemeinsamen Nenner multipliziert (kgV der vorkommenden Nenner), um eine
lineare Gleichung zu erhalten, die wie bisher mit Äquvialenzumformungen gelöst werden kann.
Kommt die Variable zumindest in einem Nenner vor, müssen für jeden dieser Terme diejenigen Werte für die
Variable ermittelt werden, für die der Nenner nicht Null ergibt (Division durch Null ist nicht definiert!).
Dadurch ergibt sich die Definitionsmenge für diese Gleichung. Diese Berechnung muß vor jedem
anderen Schritt durchgeführt werden!
Im folgenden wird ein gemeinsamer Hauptnenner ermittelt (kgV der vorkommenden Nenner), um nach
Multiplikation mit diesem Nenner wieder eine lösbare lineare Gleichung zu erhalten. Diese Multiplikation
mit dem Hauptnenner kann bedenkenlos durchgeführt werden, da alle Werte, für die dieser Nenner Null
ergäben könnte, ausgeschlossen worden sind.
Beispiel:
x
x
+ 3
−
− 6
x
x
−
+
1
6
2x+ 5
= 2
x − 36
Definitionsmenge: x + 6 = 0 ⇒ x = (−6)
x − 6 = 0 ⇒ x = 6
x² − 36 = (x − 6)⋅(x + 6) = 0 siehe oben
G = R, D = R \ {−6,6}
Bestimmung des gemeinsamen Nenners (kgV): Erweiterungsfaktor:
Nenner : ( x − 6 )
( x + 6 )
Nenner: ( x + 6 )
( x − 6 )
2
Nenner: x 36 ( x 6)( x 6)
− = − + 1
Hauptnenner (HN): ( x − 6)( x + 6
)