2. GLEICHUNGEN, GLEICHUNGSSYSTEME - Mathe Online

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Gleichungen, Gleichungssysteme
Beispiel: Über die Produktion von Gartenzwergen ist bekannt, daß in einer
Produktionsperiode 100 Stück S 11.200,- bzw. 200 Stück S 17.400,an
Kosten verursachen. Wie groß sind die Kosten bei einer
Produktion von 300 Stück (linearer Zusammenhang)?
Einsetzen der Angaben in der Kostenfunktion: 11200 = 100⋅kv + Kf
17400 = 200⋅kv + Kf
Löst man diese Gleichungssystem, so erhält man: kv = 62 und Kf = 5000
Die Kostenfunktion lautet daher: K = 62⋅x + 5000
Die Kosten für 300 Stück sind: K (300) = 23600
Wir wollen abschließend noch Überlegungen über den Zusammenhang der erwähnten Funktionen anstellen.
Stellt man die Funktionen graphisch dar (sinnvoll für x ≥ 0), so hat der Verlauf und die Schnittpunkte der
Funktionen miteinander durchaus Bedeutung. Wir wollen im folgenden die x-Werte als Stückzahlen ansehen
und die y-Werte als die entsprechenden Geldbeträge verstehen.
Die Kostenfunktion hat bei x = 0 einen Schnittpunkt mit der y-Achse, in Analogie zur Geradengleichung y
= kx + d liegt dieser Schnittpunkt bei (0|Kf); das bedeutet, daß bei Produktion von Null Stück nur die
Fixkosten anfallen.
Die Gewinnfunktion hat einen Schnittpunkt mit der y-Achse und der x-Achse. Der Schnittpunkt bei x = 0
liegt bei (0|−Kf); wird nichts produziert ist der Gewinn „negativ“, das heißt also Verlust. Dieser Zustand hält
an bis zum Schnittpunkt der Gewinnfunktion mit der x-Achse (y = 0); an dieser Stelle wechselt die
Produktion von der Verlustphase zur Gewinnphase. Diesen Punkt bezeichnet man als Gewinnschwelle
(Break-Even-Point).
Die Erlösfunktion ist eine Gerade durch den Ursprung - kein Verkauf bedeutet auch keine Einnahmen.
Schneidet man die Erlösfunktion mit der Kostenfunktion, so erhält man einen Schnittpunkt, dessen x-
Wert an der Stelle der Gewinnschwelle liegt. Der y-Wert des Schnittpunktes stellt den Erlös bzw. die
Kosten für diese Stückzahl dar; diese Beträge sind an der Gewinnschwelle nämlich gleich groß.