2. GLEICHUNGEN, GLEICHUNGSSYSTEME - Mathe Online

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Gleichungen, Gleichungssysteme
Die angeführten Äquivalenzumformungen sind auch mit Termen T anstatt der Zahlen b und c durchführbar,
wenn die Bedingung T ≠ 0 bei der Multiplikation und der Division berücksichtigt wird.
„Lösen einer Gleichung“ bedeutet nun, daß eine Gleichung mittels Äquivalenzumformungen solange
umgeformt wird, bis die Variable isoliert auf einer der beiden Seiten der Gleichung steht. Man gewinnt aus
der sogenannten impliziten Gleichung die sogenannte explizite Gleichung.
Beispiel:
- implizite Darstellung y − 3 = 8
y − 3 = 8 | + 3 ⇔ y − 3 + 3 = 8 + 3
- explizite Darstellung y = 11
-
x
12
= 13 | ⋅ 12 ⇔ x = 156
- 7⋅x = 42 | ÷ 7 ⇔ x = 6
- 3a + 8 = 2a +11 | − 2a ⇔ a + 8 = 11 | −8 ⇔ a = 3
-
5
8
2
x + 4 = x − 3 | ⋅ 24
3
3⋅ 5x + 24⋅4 = 8⋅2x − 24⋅3 ⇔ 15x + 96 = 16x −72 | − 15x
96 = x − 72 | + 72 ⇔ 168 = x
In den bisherigen Beispielen kam die Variable immer nur mit der Hochzahl 1 vor. Gleichungen dieser Art
nennt man lineare Gleichungen; die große Bedeutung aufgrund der vielschichtigen Anwendung dieses
Gleichungstypes wird im Laufe dieses Kapitels noch geklärt werden.
Allgemein läßt sich dieser Gleichungstyp folgendermaßen darstellen:
Unter der allgemeinen Form (Normalform) einer linearen Gleichung mit einer Variablen
versteht man eine Gleichung der Gestalt: ax + b = 0 mit a, b ∈ R; a ≠ 0
Man bezeichnet a als den Koeffizienten von x und b das absolute (konstante) Glied.