2. GLEICHUNGEN, GLEICHUNGSSYSTEME - Mathe Online

2.4. Wurzelgleichungen
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Gleichungen, Gleichungssysteme
Eine Gleichung, bei der die Variable unter einem Wurzelzeichen steht, nennt man
Wurzelgleichung.
Um eine Wurzelgleichung zu lösen, sind drei Schritte notwendig:
- Bestimmung der Definitionsmenge: Bedingung ist, daß die Radikanden größer oder gleich Null sind.
Das Finden der Werte für die Variable, die diese Bedingung erfüllt, erfordert genaugenommen das Lösen
einer Ungleichung (größer oder gleich Null, Term T ≥ 0). Ungleichungen werden im nächsten Kapitel
genauer behandelt. Es sei hier nur vorneweg genommen, daß alle Äquvialenzumformungen bei
Ungleichung Gültigkeit haben; bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl ändert sich das
Ungleichheitszeichen (5 ≥ 4 | ⋅(−1) ⇒ (−5) ≤ (−4)!).
- Rechnerisches Lösen durch ein- oder mehrmaliges Quadrieren.
- Überprüfung jeder einzelnen Lösung mittels Probe, da das Quadrieren aufgrund der nicht eindeutigen Umkehrbarkeit
nicht uneingeschränkt als Äquivalenzumformung angesehen werden kann. Manchmal können
Lösungen auch ungewollt verloren gehen, da man unter der Wurzel nur den positive Wert versteht.
(a) Wurzelgleichungen - einmaliges Quadrieren
Beispiel: 2x + 3 = 5 , G = R
Definitionsmenge:
2x+ 3 ≥ 0
3
⇒ x ≥ −
2
⎧
D= ⎨x
x ≥−
⎩
Quadrieren: 2x + 3 = 5 | ( )²
3⎫
⎬
2 ⎭
2x+ 3 = 25
2x= 22
x = 11
Probe: LS: 211 ⋅ + 3= 25= 5
RS: 5
L = {11}