2. GLEICHUNGEN, GLEICHUNGSSYSTEME - Mathe Online

Determinantenmethode (Regel von Sarrus)
Ein System dreier linearer Gleichungen in drei Variablen hat folgende allgemeine Form:
Erweitert man die Regel von Cramer auf dieses System, führt das zu den Lösungen:
x D
d b c
d b c
d x
= =
D
b
D
c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
y D
a d c
a d c
y a
= =
D
d
D
c
- 76 -
1 1 1
2 2 2
3 3 3
Gleichungen, Gleichungssysteme
I: ax 1 + by 1 + cz 1 = d1
II: ax 2 + by 2 + cz 2 = d2
III: ax 3 + by 3 + cz 3 = d3
D stellt wieder die Hauptdeterminante der Koeffizientenmatrix dar: D =
z D
a b d
a b d
a z
= =
D
b
D
d
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
3 3 3
Der Wert einer dreizeiligen Determinante ist komplizierter zu bestimmen. Der einfachste Weg ist, die
Determinante nach rechts um die ersten beiden Spalten zu erweitern. Dann werden alle Produkte aus drei
Elementen gebildet, die sich in Richtung der Hauptdiagonale (a1−b2−c3) bzw. in Richtung der
Nebendiagonale (a3−b2−c1) ergeben. Dabei haben werden Produkte in Richtung der Nebendiagonale von
denen in Richtung der Hauptdiagonale subtrahiert („Hauptdiagonale minus Nebendiagonale“).
a b c
1 1 1
D = a b c
a b c
2 2 2
3 3 3
a
a
a
1
2
3
b
b
b
1
2
3
= abc 1 2 3 + bca 1 2 3 + cab 1 2 3 − abc 3 2 1 −bca 3 2 1 − cab 3 2 1
Diese Berechnung von dreizeiligen Determinanten wird Regel nanch Sarrus genannt.