Molekül- und Festkörperphysik - lamp

Teilchen, deren Wellenfunktionen beim Vertauschen zweier Teilchen das Vorzeichennicht ändert nennt man Bosonen. Ihre Wellenfunktion ist symmetrisch. Jene Wellenfunktiondie das Vorzeichen wechselt nennt man antisymmetrisch, die zugehörigenTeilchen Fermionen (oder Spin- 1 -Teilchen). Es stellt sich heraus, dass Bosonen immerganzzahligen Spin besitzen, wohingegen Fermionen halbzahligen Spin haben.2Somit ist die resultierende Wellenfunktion von der FormΨ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = √ 1 (ψ 1 (⃗r 1 )ψ 2 (⃗r 2 ) ± ψ 1 (⃗r 2 )ψ 2 (⃗r 1 )) (1.8)2Wenn sich nun zwei Fermionen (negatives Vorzeichen) im selben Quantenzustandbefinden( ψ 1 = ψ 2 ), ist ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) ≡ 0. Dies ist das sogenannte Pauli Prinzip.Wir wissen vom Helium-Atom, dass es zwei Elektronen im 1s-Zustand besitzt. Deshalbmuss der Spin der Elektronen berücksichtigt werden. Betrachtet man die Teilchenrelativistisch, so tritt eine Eigenschaft der Teilchen auf die wir Spin nennen.Wir hingegen nehmen an, jedes Teilchen besitzt einen Spin. Wir führen nun zweineue Spinwellenfunktionen α(⃗r), β(⃗r) ein, wobei erstere Spin-Up und zweite Spin-Down bedeutet. Nun kann man den Spin benutzen um sicherzustellen, dass dieWellenfunktion antisymmetrisch ist. Der Grundzustand der Wellenfunktion lautetdann:Ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = ψ 1S(⃗r 1 )ψ 1S (⃗r 2 )√2(α(⃗r 1 )β(⃗r 2 ) ± α(⃗r 2 )β(⃗r 1 )) (1.9)Mit der gewonnenen Näherungswellenfunktion (es wurde ja die Elektron-ElektronWW ignoriert) kann man den Erwartungswert der Energie (〈E〉 = 〈ψ|H|ψ〉 ) berechnen,indem man diesmal die Elektron-Elektron-WW mit einbezieht. Dieser Wert〈ψ|ψ〉wird sich von der wahren Energie unterscheiden und man muss, ist man damit nichtzufrieden, andere Wellenfunktionen versuchen und auch damit den Energieerwartungswertberechnen. Eine Möglichkeit wäre:Ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = exp(−α(⃗r 1 + ⃗r 2 )) × (Polynom in ⃗r 1 und ⃗r 2 ) (1.10)Angeregte ZuständeEin Elektron kann sich auch in einem angeregten Zustand befinden. Durch die Einführungdes Spins sind im ersten angeregten Zustand jedoch 3 Einstellungen möglich,das sogenannte Spin-Triplet:Ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = √ 1)(ψ 1S (⃗r 1 )ψ 2S (⃗r 2 ) − ψ 1S (⃗r 2 )ψ 2S (⃗r 1 ) α(⃗r 1 )α(⃗r 2 )2Ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = 1 ()ψ 1S (⃗r 1 )ψ 2S (⃗r 2 ) − ψ 1S (⃗r 2 )ψ 2S (⃗r 1 ) (α(⃗r 1 )β(⃗r 2 ) + α(⃗r 2 )β(⃗r 1 ))2Ψ(⃗r 1 , ⃗r 2 ) = √ 1)(ψ 1S (⃗r 1 )ψ 2S (⃗r 2 ) − ψ 1S (⃗r 2 )ψ 2S (⃗r 1 ) β(⃗r 1 )β(⃗r 2 )2(1.11)11