Molekül- und Festkörperphysik - lamp

1.1 Motivation und Methoden der FestkörperphysikIn der Experimentalphysik-Vorlesung wurde über die Lösung der Schrödingergleichungein Zugang zum Termschema des Wasserstoffs erarbeitet. Wie gezeigt wurde,ist eine analytische Lösung der Schrödingergleichung bereits für das Helium-Atomnicht mehr möglich.Diesen Umstand nennt man oft das zentrale Problem der Festkörperphysik: DieSchrödingergleichung enthält alle Lösungen, jedoch ist keine davon brauchbar! Diesfolgt aus dem Umstand, dass ohne geeigneten Näherungen der Rechenaufwand füreine brauchbare Genauigkeit der numerischen Lösung unverhältnismäßig schnell ansteigt(siehe Übungen)!Wir werden im folgenden Kapitel zeigen, wie, ausgehend von der Einelektronenwellenfunktiondes Wasserstoffs, brauchbare Näherungen für kompliziertere Atome undauch Moleküle gewonnen werden können.1.2 Das Wasserstoff-AtomDer Hamiltonoperator für das Wasserstoffatom lautet:H = − 22m ∇2 −e24πε 0 r(1.1)Der erste Term im Hamiltonoperator entspricht der kinetischen, der zweite der potentiellenEnergie. Da der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt, kann mansofort die zeitunabhängige SchrödingergleichungHψ = Eψ− 22m ∇2 ψ −e24πε 0 r ψ = Eψ (1.2)benutzen.Einige Lösungen dieser Differentialgleichung in Abhängigkeit der Quantenzahlenn,l,m sind in Tabelle 1 zu sehen.Z ist hier die Kernladungszahl. Beim Wasserstoff Atom ist sie natürlich 1, aber dieLösungen werden auch für andere Atome verwendet(siehe Kapitel 1.4), bei denenZ ≠ 1. Bei a 0 handelt es sich um den Bohrschen Radius a 0 = 4πɛ 0 2m e e 2 .Für die Quantenzahlen n (Hauptquantenzahl), l (Nebenquantenzahl) und m (Magnetquantenzahl)gilt:n = 1...∞8