Molekül- und Festkörperphysik - lamp

3.8 Brillouin-ZonenDer Begriff der Brillouin-Zonen ist ein häufiger Begriff in der Festkörperphysik undwird euch durch die gesamte Vorlesung begleiten. So wird er bei Beugungsbedingungenund Dispersionsrelationen und Eigenschaften von Kristallen immer wiedervorkommen.Konstruiert wird die Brillouin-Zone wie die Wignerseitzzelle in Abb. 2.6 aus demvorigen Kapitel, angewandt im reziproken Gitter. Also befinden wir uns nunmehrim Wellenraum und nicht mehr im Ortsraum, da hier eine einfache mathematischeFormulierung und Darsellung der Beugungsbedingunen möglich ist. Die ersteBrillouin-Zone ist die zentrale Zelle im reziproken Gitter und spielt in der Festkörpertheorieeine besondere Rolle. Die Definition der ersten Brillouin-Zone laut Kittelist: Die erste Brillouin-Zone ist das kleinste Volumen, das vollständig von der Ebeneeingeschlossen wird, die die vom Ursprung aus gezeichneten reziproken Gittervektorenin der Mitte senkrecht schneiden.[2]Zweite, dritte und n-te Brillouin-Zonen sind jene zwischen den n-ten und (n + 1)-ten Braggflächen. Sie schließen alle das gleiche Volumen ein, werden jedoch seltenverwendet. Oft wird auch nur Brillouin-Zone für die erste Brillouin-Zone in der Literaturverwendet.Um die Brillouin-Bedingung zu erhalten dividieren wir (3.31) durch 4 und erhaltensomit:( ) ( ) G G 2∆k · =(3.33)2 2Nun folgt die geometrische Interpretation:Abbildung 3.12: Darstellung der Brillouin-Ebenen mit eingezeichneten Wellenvektoren.[2]66