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8 2 Monte-Carlo-Simulation (MCS)Der eigentliche Transport, d.h. der Zeitpunkt und die Art der nächsten Systemzustandsänderung,wird mit der Zeitgleichung (engl. Free-Flight-Kernel, FFK) und derEreignisgleichung (engl. Collision-Kernel, CK) beschrieben. Die Transportgleichungsetzt sich zusammen zuK(k′ , t′→ k, t) = T(k′, t′→ t) ⋅C(t,k′→ k) . (2.9)Der FFK T(k′, t′→ t) entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte, dass der nächsteZustand zum Zeitpunkt t eingenommen wird unter der Bedingung, dass der gegenwärtigeZustand k´ zum Zeitpunkt t´ eingenommen wurde:T(kλ′ ′k ′, t′→ t) = f ′(t| t′) = λk′(t) ⋅Rk(t | t ) mit (2.10)∑k ′ t) = λk′k(t)k≠k′( und (2.11)Rk ′(t| t′ ) = ∏Rk′k(t | t′) . (2.12)k≠k′Das folgende Ereignis bzw. der Zustand, der zum Zeitpunkt t infolge des Zustandsübergangesk´→ k eingenommen wird, lässt sich anhand des CK ermitteln. Der CKC(t,k′→ k) entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zustandsübergang inden Zustand k erfolgt unter der Bedingung, dass dieses Ereignis aus einem Zustandsübergangaus dem Zustand k´ zum Zeitpunkt t resultiert:λk′k(t)C(t, k′ → k) = γk′k(t) = . (2.13)λ (t)k′Die Ereignisdichte(t) ψ kergibt sich somit zuψk(t) = P (0) ⋅δ(t)+k= P (0) ⋅δ(t)+kt∑ ∫k′≠k0t∑ ∫k′≠k0ψψk′k′(t′)⋅K(k′, t′→ k, t) dt′(t′)⋅qk′k(t | t′) dt′.(2.14)Die Größeentspricht der partiellen bedingten Wahrscheinlichkeitsdichteq k ′ k(t | t′)(t | t′ k k) = fk′(t | t′) ⋅ γk′k(t) = λk′k(t) ⋅ Rk′(t | t′q ′ ).(2.15)Wird das System auf Basis von Transportgleichungen modelliert, so können unterVerwendung der MCS die Integrale der FormtPk (t) = ∫ ψ (t′k) ⋅ Rk(t | t′) dt′,(2.16)0