Technische Universität Berlin Institut für Energie- und ...

Technische Universität Berlin 

Institut für Energie- und Automatisierungstechnik 

Fakultät IV: Elektrotechnik und Informatik 

Supplement zu 

Grundlagen der Elektrotechnik 

im Internet 

Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch


1. GLEICHSTROMLEHRE 3 

1.1 OHM’SCHE WIDERSTAND 3 

1.1.1 Einleitung 3 

1.1.2 Physikalische Grundlagen 7 

1.1.2.1 Stromstärke und Geschwindigkeit der Strömung 8 

1.1.2.2 Elektrische Spannung 10 

1.1.3 Einfacher Stromkreis 10 

1.1.3.1 Ohm’sches Gesetz 10 

1.1.3.2 Elektrischer Widerstand 11 

1.1.3.3 Klemmenspannung und Leitungswiderstand 12 

1.1.4 Kirchhoff’sche Gesetze 13 

1.1.4.1 Kirchhoff’sche Knotenregel 13 

1.1.4.2 Parallelschaltung von Widerständen 14 

1.1.4.3 Kirchhoff’sche Maschenregel 15 

1.1.4.4 Reihenschaltung von Widerständen 16 

1.1.4.5 Schiebewiderstand ohne Belastung 17 

1.1.4.6 Schiebewiderstand mit Belastung 18 

1.1.4.7 Vorwiderstand 19 

1.1.4.8 Strommesser 20 

1.1.4.9 Spannungsmesser 21 

1.1.4.10 Spannungs- und Strommessung 22 

1.1.4.11 Wheatstone’sche Brückenschaltung 23 

1.1.5 Induktionsgesetz 25 

1.1.6 Selbstinduktion und Induktivität 27 

1.1.7 Stromanstieg in der Spule 29 

1.1.8 Energie in der Spule 31 

1.1.9 Rotatorische Spannungserzeugung 32 

1.1.10 Transformator 34 

1.1.11 Wirbelströme 37 

2. WECHSELSTROMLEHRE 40 

2.1 GRUNDBEGRIFFE 40 

2.1.1 Vorkommen und Arten von Wechselströmen 40 

2.1.2 Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen 43 

Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch 

Seite 1


2.2 KOMPLEXE RECHNUNG 47 

2.2.1 Komplexe Zahlenebene 47 

2.2.2 Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen 51 

2.3 KOMPLEXE RECHNUNG AN ZWEIPOLEN 52 

2.3.1 Widerstand 52 

2.3.2 Kondensator 54 

2.3.3 Spule 57 

2.3.4 Leistungsbegriffe in komplexer Darstellung 60 

LITERATURVERZEICHNIS: 


Seite 2 

64


1. Gleichstromlehre 

1.1 Ohm’sche Widerstand 

1.1.1 Einleitung 

Zunächst sind einige Grundbegriffe zu erklären: 

Stromkreis: Weg des elektrischen Stromes 

Spannungsquelle: Ursache des elektrischen Stromes 

Problem: Wie kann man die Wirkung des elektrischen Stromes sichtbar machen? 

Hilfe: Oftmals ist es hilfreich, die Wirkung des elektrischen Stromes mit begreifbaren 

physikalischen Größen zu vergleichen. So gilt z.B. der Energieerhaltungssatz, der sich in 

unterschiedlichen Erscheinungsformen beschreiben lässt: 

1 2 

1 2 

• Energie der Bewegung: Wkin = m⋅ 

v bzw. Wrot = J⋅ ω 

2 

2 

W kin ....Kinetische Energie der geradlinigen Bewegung mit der Einheit Joule 

2 2 

[ J N m m kg s − 

= ⋅ = ⋅ ⋅ ] 

m .......Masse [ kg ] 

v .....Geschwindigkeit [ m/ s] 

W rot ....Kinetische Energie einer rotierenden Kugel um den Kugelschwerpunkt [ J ] 

J 

2 

.....Massenträgheitsmoment [ kg ⋅ m ] 

ω .....Winkelgeschwindigkeit mit der Einheit Radiant je Sekunde 

−1 −1 

[ rad / s = m⋅m⋅s] Frage: Woher kommt der Strom? 

Antwort: Für Anwendungen im Bereich kleiner Leistungen können Batterien (Akku- 

mulatoren) bzw. Solarzellen eingesetzt werden. 

Frage: Woher kommt der Strom für großtechnische Anwendungen? 

Antwort: Aus Spannungs- oder Stromquellen, z.B. Torbogeneratoren 

Der ein-bzw dreiphasige Wechselstromgenerator sind typische Spannungsquellen. 


Seite 3


Man muss auch zwischen einer realen und einer idealen Quelle unterscheiden. 

Eine ideale Spannungsquelle liefert eine Spannung, die unabhängig vom entnommenen 

Strom ist. Der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle ist null. 

Eine ideale Stromquelle liefert einen Strom, der unabhängig von der anliegenden Spannung 

ist. Der Innenwiderstand einer idealen Stromquelle ist unendlich groß. 

Frage: Was ist Elektrotechnik? 

Antwort: Zur Elektrotechnik zählt alles, was die physikalischen Wirkungen von elektrischen 

Ladungen nutzt. Das Problem daran ist, dass man Ladungen nicht sieht. Deshalb braucht man 

Theorie und Modellvorstellungen. 

Unsere heutige Technik beruht im wesentlichen auf den Leistungen der Werkstofftechnik, 

Mikroelektronik, Elektronik, Leistungselektronik und der elektromechanischen Energie- 

wandlertechnologie. 

Übrigens: Die Elektroindustrie in der Bundesrepublik hat im Jahr 2001 "125.000.000.000" 

EUR umgesetzt. Dazu gehören die Branchen Energietechnik, Antriebstechnik, Kommunika- 

tionstechnik, Datentechnik, Mess- und Automatisierungstechnik, Hausgeräte, Bauelemente, 

Fahrzeugelektronik, Unterhaltungselektronik, Beleuchtung und Medizintechnik. 

Frage: Welche Regelung bzw. Vorschriften existieren für die Elektrotechnik? 

Antwort: Zu den technische Regelwerken für die Elektrotechnik gehören im wesentlichen 

DIN VDE/VDI-Normen sowie weitere Regelwerke und Richtlinien z.B. IEC Vorschriften. 

Dabei sind für “Elektrotechnische Anlagen“ nicht alle einzelnen Normen und Richtlinien 

relevant, so dass für den Anlagenbetreiber durchaus ein Problem der richtigen Auswahl 

besteht. Die folgenden DIN-Normen bzw. die DIN VDE/VDI-Normen sind eine kleine 

Auswahl (DIN: Deutsches Institut für Normung e.V.). 

Hier ist eine kleine Auswahl aus den DIN VDE/VDI-Normen, die im Juli 2002 veröffentlicht 

wurden: 

VDE 0102:2002-07 

Kurzschlussströme in Drehstromnetzen 

Berechnung der Ströme. 

Norm-Nr: DIN EN 60909-0 VDE-Klass.: VDE 0102. 

VDE 0641 Teil 12:2002-07 

Leitungsschutzschalter für Hausinstallationen und ähnliche Zwecke, Leitungsschutzschalter 

für Wechsel- und Gleichstrom (AC und DC). 

Norm-Nr: DIN EN 60898-2 VDE-Klass.: VDE 0641 Teil 12. 


Seite 4


VDE 0682 Teil 431:2002-07 

Arbeiten unter Spannung, Phasenvergleicher für Wechselspannungen von 1 kV bis 36 kV 

Norm-Nr: DIN EN 61481 VDE-Klass.: VDE 0682 Teil 431. 

VDE 0820 Teil 10:2002-07 

Geräteschutzsicherungen, Leitfaden für die Anwendung von Geräteschutzsicherungen 

Norm-Nr: DIN EN 60127-10 VDE-Klass.: VDE 0820 Teil 10. 

VDE 0845 Teil 4-2:2002-07 

Blitzschutz - Telekommunikationsleitungen, Leitungen mit metallischen Leitern 

Norm-Nr: DIN EN 61663-2 VDE-Klass.: VDE 0845 Teil 4-2. 

VDE 0847 Teil 4-4:2002-07 

Elektromagnetische Verträglichkeit (EMV), Prüf- und Messverfahren - Prüfung und Störfestigkeit 

gegen schnelle transiente elektrische Störgrößen/Burst 

Norm-Nr: DIN EN 61000-4-4 VDE-Klass.: VDE 0847 Teil 4-4. 

VDE 0855 Teil 300:2002-07 

Funksende-/-empfangssysteme für Senderausgangsleistungen bis 1 kW, Sicherheitsanforderungen 

Norm-Nr: DIN VDE 0855-300 VDE-Klass.: VDE 0855 Teil 300. 

VDI 2243, Ausgabe:2002-07 

Recyclingorientierte Produktentwicklung. 

VDI/VDE 3527, Ausgabe:2002-07 

Kriterien zur Gewährleistung der Unabhängigkeit von Sicherheitsfunktionen bei der Leittechnik-Auslegung. 

VDI 4471 Blatt 4, Ausgabe:2002-07 

Warensicherungssysteme - Kompatibilität von elektronischen Artikelsicherungssystemen 

(EAS) - Radiofrequente Technologie. 

VDI 6012 Blatt 3, Ausgabe:2002-07 

Dezentrale Energiesysteme im Gebäude – Brennstoffzellen. 

VDE 0530/DIN 57530 

Umlaufende elektrische Maschinen Teil 1-8. 

DIN VDE 0100 Teil 726 

Elektrische Ausrüstung von Hebezeugen. 


Auswahl und Errichtung elektrischer Betriebsmittel; Allgemeines; vde-verlag, Berlin. 

DIN VDE Teil 520 

Kabel, Leitungen und Stromschienen; vde-verlag, Berlin. 


Bemessung von Leitungen und Kabel; Mechanische Festigkeit; Spannungsfall und Strombelastbarkeit; 

vde-verlag, Berlin. 


Auswahl und Errichtung elektrischer Betriebsmittel, Erdung, Schutzleiter, Potentialausgleichsleiter; 

vde-verlag, Berlin. 


Seite 5



Hausanschlüsse in öffentlichen Kabelnetzen; vde-verlag, Berlin. 

DIN VDE 0102 

Berechnung von Kurzschlussströmen in Drehstromnetzen; vde-verlag, Berlin. 

Ferner werden von der „International Electrotechnical Commission“ (IEC) Zahlreiche 

Vorschriften herausgegeben: z.B. (IEC 34-2) Rotating electrical machines. 


Seite 6


Bauelemente: Neben den Spannungs- und Stromquelle sind der Widerstand und die Indukti- 

vität (Spule) und der Kondensator in der Gleichstrom- und Wechselstromtechnik von Bedeu- 

tung. 

Abbildung 1.1.1.: Ausgewählte Bauelemente und Kennzeichen in der Elektrotechnik 

1.1.2 Physikalische Grundlagen 

−31 

Ladungsträger: Metallische Leiter: Negativ geladene Elektronen: Masse m = 9,1⋅10kg, −19 

Ladung e=−1, 

6 ⋅10 

As (Elementarladung). 

Atom: Kern mit positiven Protonen, Hülle mit negativen Elektronen, sie sind im Ladungs- 

gleichgewicht. 

Elektronengas: Frei bewegliche Elektronen in Metallen bewegen sich analog zu Molekülen 

in Gasen. 

Elektronenleitung: Bei elektrischem Stromfluss bewegen sich die Elektronen mit sehr 

geringer “Driftgeschwindigkeit“; von einigen cm/s! 

Löcherleitung: Durch Auffüllen von Elektronenfehlplätzen (Löcher) bei Halbleitern. 

Bewegungsrichtung entgegengesetzt zur Strömung der Elektronen. 

Ionenleitung: Drift von ein- oder zweiwertig positiven oder negativen Molekülen in Gasen 

oder Flüssigkeiten. 

Stromrichtung: Historisch festgelegt, von der positiven Klemme ( + ), der Quelle, zur 

negativen ( − ) Klemme. 

Elektronenströmung: Entgegengesetz der “Stromrichtung“. 


e 

Seite 7


MKSA-System: Das international vorgeschriebene Einheitssystem SI (Systeme Inter- 

national) enthält 7 Basiseinheiten, die in (Tab. 1.1) aufgelistet sind . 

Dezimale Vorsilben: Für die praktische Schreibweise werden in der Elektrotechnik die 

bekannten Buchstaben aus (Tab. 1.2) verwendet. 

1.1.2.1 Stromstärke und Geschwindigkeit der Strömung 

Elektrischer Strom: Drift eines Elektronengases durch einen metallischen Leiter. 

Ruhezustand: Je ein Metallatom des Gitters gibt etwa 1 Elektron in das “Elektronengas“ ab. 

3 23 

In jedem cm des Gitters sind rund 10 Elektronen in ungeordneter Bewegung. 


Größe Einheit Symbol 

1. Länge Meter m 

2. Masse Kilogramm kg 

3. Zeit Sekunde s 

4. Stromstärke Ampere A 

5. Temperatur Kelvin K 

6. Stoffmenge Mol Mol 

7. Lichtstärke Candela cd 

Tabelle 1.1.: Internationales Einheitssystem SI 

Kleiner 1 Größer 1 

atto 

femto 

pico 

nano 

micro 

milli 

zenti 

dezii 

18 

10 − 

15 

10 − 

12 

10 − 

a Exa 18 

10 

f Peta 15 

10 

p Tera 12 

10 

9 

10 − n Giga 9 

10 

6 

10 − µ Mega 6 

10 

3 

10 − m Kilo 3 

10 

2 

10 − c Hekto 2 

10 

1 

10 − d Deka 1 

10 

Tabelle 1.2.: Dezimale Vielfache und Teile 

E 

P 

T 

G 

M 

k 

h 

D 

Seite 8


Abbildung 1.1.2.: Leiterstück als Zylinder mit der Querschnittsfläche A und der Länge l 

Leiterstück: Bei N Elektronen ergibt sich eine Strömung der Ladungsmenge ∆ Q= −N e, 

bei der das letzte Elektron bei der Geschwindigkeit v die Zeit ∆ t braucht, um die Länge l 

zu durchlaufen. 

Stromstärke: Für das Leiterstück aus (Abb. 1.1.2.) ist der Betrag der Stromstärke 

∆Q 

Ne nV e 

I = = = 

∆t ∆t ∆ t 

(1.1.2) 

mit n= N / V der Konzentration der Ladungsträger. Mit V = A. list 

nAle 

I = 

∆t 

Mit der Geschwindigkeit v=∆l/ ∆tergibt 

sich dann 

Division durch den Querschnitt A liefert die Stromdichte J in 

woraus sich die Geschwindigkeit der Elektronen ergibt 


(1.1.2) 

I = neAv 

(1.1.3) 

A/ m 

I 

J = = nev 

(1.1.4) 

A 

2 

J 

v = (1.1.5) 

ne 

Seite 9


1.1.2.2 Elektrische Spannung 

Ladungsdruck: Ursache für die Bewegung der Elektronen, die als elektrische Strömung 

sichtbar wird, ist eine elektrische Spannung, die über den Quotienten Arbeit / Ladung 

definiert ist 

mit der Einheit Volt [ V ] 

Elektrische ArbeitW ⎡ Nm Ws VAs ⎤ 

SpannungU = = V 

Ladung Q ⎢ 

= = = 

As As As ⎥ 

⎣ ⎦ (1.1.6) 

Richtung: Die Richtung der Spannung entspricht der Bewegung einer positiven Probeladung. 

Spannungsquelle: Spannung anzubieten ist das Merkmal einer Spannungsquelle; dabei 

braucht noch kein Strom zu fließen. Erst eine Spannungsquelle in einem geschlossenen 

Stromkreis erzeugt einen Strom. 

Spannungsreihe: Kleinverbraucher: 2 V, 4 V, 6 V, 12 V, 24 V, 60 V; 

Niederspannung: 110 V, 230 V, 400 V; 

Hochspannung: 6 kV, 10 kV, 20 kV, 30 kV, 110 kV, 220 kV, 400 kV. 

1.1.3 Einfacher Stromkreis 

1.1.3.1 Ohm’sches Gesetz 

Stromstärke: Die pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt hindurchtretende Elektronenanzahl 

ist proportional der Spannung (Ursache). Bei fester Spannung ist sie umgekehrt proportional 

dem Widerstand, der dem Strom entgegenwirkt. 

Ohm’sches Gesetz: Spannung U und Stromstärke I sind über den Widerstand R verknüpft 

Dies ist ein zentrales Gesetz in der Elektrotechnik. 

U = RI 

(1.1.7) 

Widerstand: Aus einer Umformung des Ohm’sches Gesetzes ergibt sich der Widerstand zu 

U 

R = [ Ω ] 

(1.1.8) 

I 

Leitwert: Der Reziprokwert des Widerstandes G = 1/ R hat die Einheit Siemens [S]. 


Seite 10


1.1.3.2 Elektrischer Widerstand 

Frage: Was ist ein Widerstand? 

Antwort: Er kann als Hindernis für den Strom interpretiert werden 

Metallischer Draht: Experimentell kann man feststellen: 

• Längerer Draht: Spannung muss den Strom über eine längere Strecke treiben, 

d.h. der Widerstand nimmt zu 

• Dickerer Draht: Elektronen finden mehr Platz, d.h. der Widerstand nimmt ab 

• Verschiedene Materialien: Unterschiedliche elektrische Leitfähigkeit κ , bzw. 

• unterschiedlicher spezifischer Widerstand ρ führt zu unterschiedlichem Widerstand 

bei gleicher Geometrie. 

Berechnung: Durch Messung findet man den Zusammenhang für einen Draht der Länge l 

mit dem Querschnitt A und der Leitfähigkeit κ . 

ρ l l 

R = = (1.1.9) 

A κ A 

Temperaturabhängigkeit: κ bzw. ρ werden i.a. für eine Temperatur von 20 ° C spezi- 

fiziert und mit einem linearen Temperaturbeiwert α 20 und einem quadratischen β 20 versehen. 

Der Widerstand bei einer beliebigen Temperatur T, also einer Differenz 

berechnet sich dann zu 

2 

20(1 α20 β20( 

) ) 

∆ T = T − 20° 

C 

R = R + ∆ T + ∆T (1.1.10) 

Widerstand: Spezifischer Widerstand ρ , Leitfähigkeit κ , Temperaturbeiwerte α 20 und β 20 

sind charakteristische Kenngrößen von Metallen bei 20° C (siehe Tab. 1.3) . 


Werkstoff ρ20 

Ω 

mm 

m 

20 

κ 

20 

Sm 

2 

mm 

α 

20 

10 K 

−3 − 1 

Silber 0,016 62,5 3,6 0,7 

Kupfer 0,017 58 4,3 0,6 

Gold 0,022 45,2 3,8 0,5 

Aluminium 0,027 37 4,3 1,3 

Blei 0,21 4,75 3,9 2,0 

Eisen 0,1 10 6,5 6,0 

Platin 0,098 10,5 3,5 0,6 

β 

20 

10 K 

Tabelle 1.3.: Kenngrößen von verschiedenen Metallen 

−6 − 2 

Seite 11


1.1.3.3 Klemmenspannung und Leitungswiderstand 

In (Abb. 1.1.3) kann die Hin- und Rückleitung zwischen dem Verbraucher und dem Generator 

zu einem Leitungs-Widerstand zusammen gefasst werden. 

Abbildung 1.1.3.: Verbraucherwiderstand R V (z.B. Glühlampe), Generator G, Hin- und Rückleitung 

Stromkreis: In allen Teilelementen des unverzweigten Stromkreises ist der Strom gleich 

groß. Mit Hilfe des Ohm’schen Gesetzes erhalten wir den Spannungsabfall am Verbraucher 

und in der Hin- und Rückleitung zusammen 

RL 

UV = I RV 

(1.1.11) 

UL = I RL 

(1.1.12) 

Die Summe der beiden Teilspannungen ist gleich der Klemmenspannung 

UG = UL + UV (1.1.13) 

Merke: Die folgende Bezeichnungen sind für Spannungsquelle üblich: 

UG → Generatorspannung 

U q → Quellenspannung 

U B → Batteriespannung 


/2 

Seite 12


1.1.4 Kirchhoff’sche Gesetze 

1.1.4.1 Kirchhoff’sche Knotenregel 

Knotenregel: Gegeben sei ein idealer Generator (z.B. Kraftfahrzeug-Lichtmaschine), der 

gleichzeitig mehrere Verbraucher (z.B. Scheinwerferlampe, Rundfunkgerät und Zündspule) 

versorgt, wie in (Abb. 1.1.4) dargestellt . 

Für jeden der 4 Knotenpunkte (1), (2), (3) und (4) ist der hineinfliessende Strom gleich dem 

hinausfliessenden Strom. Es gilt daher z.B. für Knoten (1) 

I = ( I + I + I ) = I + ( I + I ) 

(1.1.14). 

1 2 3 1 2 3 

Abbildung 1.1.4.: Schaltung zur Knotenregel 

1. Kirchhoff’sches Gesetz: Ganz allgemein gilt: 

∑ Iab = ∑ I zu 

(1.1.15) 

Knotenpunkt: Die Summe aller in einen Knoten hineinfliessenden Ströme ist gleich der 

Summe aller abfließenden Ströme. Die Bezugsgröße ist die Spannung zwischen den Knoten- 

punkten. 

Ersatzwiderstand: Der Ersatzwiderstand R E in der (Abbildung1.1.5) ist der Widerstand, den 

man anstelle der drei Widerstände R1, R2und R 3 in den Kreis schalten muss, damit der 

Generator denselben Strom abgibt wie vorher (siehe Abb. 1.1.5) . 


Seite 13


Abbildung 1.1.5.: Parallelschaltung und Ersatzwiderstand E R 

1.1.4.2 Parallelschaltung von Widerständen 

Spannungsabfall: Es gilt mit dem Ohm’schen Gesetz: 

U 

U1 = I1R1 ⇒ I1 

= 

R 

U 

U2 = I2 R2 ⇒ I2 

= 

R 

U 

U3 = I3R3 ⇒ I3 

= 

R 

U 

Uq = Iq RE ⇒ Iq 

= 

R 

Nach der Knotenregel (Gl. 1.1.15) ist Iq = I1+ I2 + I3 

und somit 

U U U U 

R R R R 

1 2 

Da Uq= U 1 = U2 = U3 

ist, kann die Spannung eliminiert werden 

1 

1 

2 

2 

3 

3 

q 

E 

(1.1.16) 

q 1 2 3 

= + + (1.1.17) 

E 

E 1 2 3 

3 

1 1 1 1 

= + + (1.1.18) 

R R R R 

Parallelschaltung: In einer Parallelschaltung ist der Kehrwert des Gesamtwiderstandes 

gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände. 

Parallelleitwerte: Verwendet man in (Gl. 1.1.18) statt der Widerstände die Leitwerte 

G i = 1/ i , so ergibt sich einfacher 

R 

G = G + G + G 

(1.1.19) 

E 

1 2 

Anwendung: Beim Stromteiler (siehe Abb. 1.1.6) mit 2 parallelgeschalteten Widerständen 

R 1 und 2 R an der Spannung U gilt: 1 1 2 2 1 1 2 

3 

I = U / R und I = U / R oderU = I R und U = I R2. 

I1 R2 

Gleichsetzen liefert = (1.1.20) 

I R 


2 1 

Seite 14


1.1.4.3 Kirchhoff’sche Maschenregel 

Abbildung 1.1.6.: Stromteiler 

Maschenregel: Bei einer Zusammenschaltung von Widerständen in Reihe, wie in (Abb. 

1.1.7), ist die überall gleiche Bezugsgröße der Strom I . 

An den einzelnen Widerständen entsteht der Spannungsabfall U1 = I R1, U2 = I R2und U3 = I R3 

Mit einem willkürlichen festgelegten Richtungssinn in der Masche (geschlossener 

Stromkreis) ist die Summe aller Spannungen Null oder 

U = U + U + U = IR + IR + IR 

q 

1 2 3 1 2 

= I( R + R + R ) 

= I⋅R 1 2 3 

Abbildung 1.1.7.: Reihenschaltung und Ersatzwiderstand 

2. Kirchhoff’sches Gesetz: Allgemein gilt für jede Masche 


qi 

i i 

E 

3 

(1.1.21) 

∑U = ∑ I⋅R 

(1.1.22) 

Seite 15


Masche: Die Summe aller Quellenspannungen ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle 

in der Masche. (Bezugsgröße ist der Strom). 

Ersatzwiderstand: Definition siehe Parallelschaltung 

Spannungsabfall: Es gilt mit dem Ohm’schen Gesetz: 

U = I R 

1 1 1 

U = I R 

2 2 

U = I R 

3 3 3 

U = I R 

q E 

1.1.4.4 Reihenschaltung von Widerständen 

Nach der Maschenregel (Gl. 1.1.22) ist UG= U1+ U2 + U3 und somit 

E 1 2 3 

2 

(1.1.23) 

I R = I R + I R + I R 

(1.1.24) 

Da I durch alle Widerstände fließt, kann der Strom eliminiert werden: 

R = R + R + R 

(1.1.25) 

E 1 2 3 

Reihenschaltung: In einer Reihenschaltung ist Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand) 

gleich der Summe der Einzelwiderstände. 

Anwendung: Beim Spannungsteiler (siehe Abb. 1.1.8) mit 2 Widerständen 1 

Reihenschaltung gilt: 1 / I = U R1 

und 2 / I = U R2 

mit den Spannungsabfällen 

U 1 und U 2 an den jeweiligen Widerständen. Gleichsetzen liefert 

2 2 

R und R 2 in 

U1 R1 

= (1.1.26) 

U R 

Umstellen dieser Gleichung nach der Teilspannung = ( R, R , U) 

1 

Ergebnis U1 U2 

R2 

U f liefert ein bekanntes 

2 1 2 

R 

= = U − U2 

(1.1.27) 

Abbildung 1.1.8.: Spannungsteiler 

1 1 

Auflösen nach U ergibt = ⎜ + 1⎟ 

2 = 

R2 R2 

und damit das Ergebnis für einen Spannungsteiler 


⎛ R ⎞ R + R2 

U U U2 

(1.1.28) 

⎝ ⎠ 

R 

2 U2= U 

R1+ R2 

(1.1.29) 

Seite 16


1.1.4.5 Schiebewiderstand ohne Belastung 

Frage: Was ist ein Schiebewiderstand? 

Antwort: Ein variabel in zwei Anteile teilbarer Widerstand. 

Die Bauform kann linear (Schiebewiderstand) oder rund (Potentiometer) sein, 

Wesentliches Merkmal sind drei Anschlüsse, wobei über zwei (gleichfarbig oder außen- 

liegend) der komplette Widerstand und über den dritten Anschluss (andersfarbig oder in der 

Mitte) der Abgriff zugänglich ist. 

Schiebewiderstand: In der Praxis macht man häufig Gebrauch von einem Widerstand mit 

einem Schleifkontakt zur Realisierung eines variablen Widerstandswertes. 

Ausgangsspannung: Nach (Gl. 1.1.26) sind die von den Enden bis zum Schleifkontakt 

zählenden Spannungsabgriffe in (Abb. 1.1.9) proportional zur abgegriffenen Widerstands- 

länge. Es gilt 0 ≤a≤1 und somit U = 0 für 0 a = und UaU = für a = 1. 

Aus (Gl. 1.1.26) ergibt sich direkt 

a 

Abbildung 1.1.9.: Schiebewiderstand (Potentiometer) 

a U aR a 

a ist ein Maß für die Verschiebungsstrecke (oder den Drehwinkel). 

= = (1.1.30) 

U R 

Logarithmischer Widerstand: Bei gleichen Drehwinkeln nimmt der Widerstand in Dekaden 

zu (1 bis 10 Ω , 10 bis 100 Ω , 100 bis 1000 Ω , usw.). 

Anwendung: In der Rundfunktechnik als Lautstärkeregler. Aufgrund der ebenfalls 

logarithmischen Charakteristik des Ohres erscheint dann bei gleichen Drehwinkeln die Laut- 

stärke entsprechend linear zuzunehmen. 


Seite 17


1.1.4.6 Schiebewiderstand mit Belastung 

Belastung: (Gl. 1.1.30) ist nur gültig ohne Belastung des Schleifers. Die Charakteristik ändert 

sich, wenn entsprechend (Abb. 1.1.10) aus dem Abgriff ein Strom entnommen wird. 

Abbildung 1.1.10.: Potentiometer mit Belastung 

U 

U 

a 

Gesucht: f ( aRR , , V ) 

= (1.1.31) 

Ströme: Die Ströme sind I = U / R = U / aR und I = U / R = U / R 

Weiterhin gilt für die Stromsumme 

Spannungen: Andererseits ist 

Wir erhalten damit 

a a a a 

U U 

v v v a v 

a a 

= a + v = + (1.1.32) 

aR RV 

I I I 

Division durch U ergibt den Quotienten 

a 


U = U′ + U und U′ = I R (1 − a) 

(1.1.33) 

a 

Ua Ua 

U = I R(1 − a) + Ua = ( + ) R(1 − a) + Ua 

(1.1.34) 

aR R 

U ⎛ 1 1 ⎞ 

= ⎜ + ⎟R(1 

−a) 

+ 1 

U ⎜ 

a aR R ⎟ 

⎝ V ⎠ 

RV + aR aRV 

= R(1 − a) 

+ 

a⋅R⋅R aR 

( R + aR)(1 − a) + aR 

= 

aR 

V 

V V 

V V 

V 

(1.1.35) 

Seite 18


Und somit für den Kehrwert 

U 

aR 

a 

V 

= 

U ( R + aR)(1 − a) + aR 

= 

V V 

1 

( RV V 

+ aR−aRV 2 

− a R+ aRV) 

R 

a 

= 

R 2 R 

1+ 

a −a 

R R 

V V 

a 

= 

R 

1 + a (1 −a) 

R 

V 

Spezialfall: Falls kein Verbraucher angeschlossen ist ( R V = ∞ ), so folgt R/ R V = 0 und 

wir erhalten damit wieder das Ergebnis von (Gl. 1.1.30). 

1.1.4.7 Vorwiderstand 

a 

(1.1.36) 

Vorwiderstand: Ein Schiebewiderstand kann auch als Vorwiderstand für einen Verbraucher 

(z.B. Glühlampe) eingesetzt werden, um eine Spannungsanpassung vorzunehmen 

(siehe Abb. 1.1.11) . 


Abbildung 1.1.11.: Schaltung zum Vorwiderstand 

Seite 19


Verbraucherspannung: Der beiden Widerständen gemeinsame Strom I erzeugt den 

Spannungsabfall U = I RV 

. Der Strom berechnet sich zu I = U / R = U /( aR+ R ) . 

V 

U0 U0 

Daraus erhalten wir UV = RV 

= 

aR+ R R 

V a + 1 

R 

V min 

V 

0 ges 0 

V 

U : Für R = R( beia= 

1) erhalten wir den unteren Wert der Verbraucherspannung 

V max 

a 

zu (analog Spannungsteiler!): 

U 

U R 

U 

R 

+ 1 

0 

V 

V = = 

0 

R RV + R 

V 

Die Verbraucherspannung kann demnach nicht zu Null werden. Speziell für 

R = RV 

wird U U 0 . /2 

V = 

(1.1.37) 

(1.1.38) 

U : Für R = 0( beia= 

0) erhalten wir den oberen Wert der Verbraucherspannung zu 

a 

U = U 

(1.1.39) 

Problem: Verlustleistung entsteht im Vorwiderstand und geht als Wärme “verloren“. 

1.1.4.8 Strommesser 

Frage: Was ist ein Strommesser(Amperemeter)? 

V 

Antwort: Ein Messgerät zur Erfassung des Stroms und somit ein zusätzlicher Widerstand im 

Stromkreis. 

Man kann digitale als auch analoge Vielfachmessgeräte einsetzen, die entweder zur Strom- 

oder zur Spannungsmessung verwendet werden können. 

Prinzip: Bei üblichen Strommessern ist der Vollausschlag schon bei sehr kleinen Strömen 

( µ A) erreicht. Zur Messung größerer Ströme muss der Überstrom am Messwerk über einen 

Nebenwiderstand vorbeigeleitet werden (siehe Abb. 1.1.12) 


Abbildung 1.1.12.: Realisierung eines Amperemeters mit 4 Messbereichen 

0 

Seite 20


Beispiel: Ein Messwerk (siehe Abb.1.1.13) habe den inneren Widerstand R = 333Ω 

und 

einen Vollausschlag beim Strom I0 = 0,3mA 

. Es soll ein Strom von I = 6A 

gemessen werden. 

Der Überstrom 

Abbildung 1.1.13.: Erweiterung des Strommessbereiches 

I = I − I = A 

P 

0 5,9997 

muss am Messwerk vorbeifließen. Es tritt nach dem Ohm’schen Gesetz ein Spannungsabfall 

U I R mV 

0 = 0 i = 99,9 

an Messwerk und Nebenwiderstand auf. Damit wird 

1.1.4.9 Spannungsmesser 

R 

U 

0,01665 

0 

P = = Ω 

I − I0 

Prinzip: Zur Messung kleiner Spannungen muss der Vollausschlag des Spannungsmessers 

schon bei sehr kleinen Spannungen ( µ V ) erreicht sein. Bei größeren Spannungen fällt die 

Überspannung an einem Reihenwiderstand ab (siehe Abb. 1.1.14) . 


Abbildung 1.1.14.: Realisierung eines Voltmeters mit 4 Messbereichen 

i 

Seite 21


Beispiel: Gegeben sei dasselbe Messwerk mit dem inneren Widerstand R = 333Ω 

und Voll- 

ausschlag von U = 100 mV (siehe Abb. 1.1.15) . Es soll eine Spannung von U = 220 V 

gemessen werden. 

Die Überspannung 

0 

Abbildung 1.1.15.: Erweiterung des Spannungsmessbereiches 

U = U − U = V 

v 

0 219,9 

muss vor dem Messwerk abfallen. Durch Messwerk und Vorwiderstand fließt der Strom 

I0 = 0,3mA 

Nach dem Ohm’schen Gesetz ergibt sich dann für den Vorwiderstand: 

Uv 

Rv = = 733kΩ 

I 

Ausführung: Wie beim Strommesser sind mehrere Vorwiderstände über einen Schalter 

verfügbar. 

1.1.4.10 Spannungs- und Strommessung 

Bei messtechnischen Untersuchungen ist zu bedenken: 

Strommesser: In Reihe zum Verbraucher, da der Strom in der Serienschaltung überall gleich 

groß ist. 

Spannungsmesser: Parallel zum Verbraucher, da die Spannung bei einer Parallelschaltung 

gleich groß ist. 

Strom- /Spannungsmessung: Bei gleichzeitiger Messung von Strom und Spannung eines 

Verbrauchers (Leistungsmessung) tritt ein prinzipieller Messfehler auf, da nicht beide 

Bedingungen erfüllbar sind. Es sind zwei Schaltungen entsprechend (Abb. 1.1.24) möglich, 

deren Auswahl nach den Eigenschaften des Verbrauchers getroffen werden kann. 


i 

Seite 22


Abbildung 1.1.16.: Spannungsrichtige ( iV A ) R R 

Messung am Verbraucher R V 

1.1.4.11 Wheatstone’sche Brückenschaltung 

〉〉 oder stromrichtige ( R 〈〈 R ) 

iA a 

Brückenschaltung: Sie besteht entsprechend (Abb. 1.1.17) aus einer Anordnung von vier 

Widerständen, von denen je zwei in Reihenschaltung parallel an einer Spannungsquelle 

liegen. Derartige Brückenschaltungen werden ebenfalls bei Dioden-Anwendungen eingesetzt. 

Abbildung 1.1.17.: Wheatstone’sche Brückenschaltung 

Spannungsabfälle: In den Brückenwiderständen 1 ... R R 4 entstehen die Spannungsabfälle 

U U4 ≠ 0V 

zwischen den Punkten A und B ein- 

1 ... 

stellt. 

, wodurch sich i.a. auch eine Spannung U 5 

Anwendung: Die vier Widerstände sind so zu wählen, dass die Brückenspannung U = 0V 

und somit I5 = 0 A wird. Das Ergebnis einer längeren Rechnung (Anwendung von Knoten 

und Maschensatz) liefert: 


5 

Seite 23


Damit für 

I = 0 

5 

I 

5 

U0( R2R3−R1R4) = 

( R + R )( R R + R ( R R )) + R R ( R + R ) 

1 3 2 4 5 2+ 4 1 3 2 4 

2 4 

(1.1.40) 

R1 R3 

= (1.1.41) 

R R 

Praxis:Abb.1.1.18 zeigt die Verwendung als Messprinzip für die Messung von Widerständen. 

Prinzip: Das Brückeninstrument M ist möglichst präzise und hat den Nullpunkt in der Mitte. 

Der Wert des Widerstandes 1 R muss sehr genau bekannt sein. Die Widerstände 2 R und 4 R 

werden als Teilwiderstände eines Schiebewiderstandes realisiert. 

Abbildung 1.1.18.: Bestimmung von Widerständen mit der Wheatstone’schen Brückenschaltung 

Messung: Der unbekannte Widerstand x 

R wird anstelle von 3 

R angeschlossen und der 

Schleifkontakt solange verschoben, bis das Instrument keinen Ausschlag mehr anzeigt. 

Rechnung: Analog zu (Gl. 1.1.41) gilt dann 

Hinweis: 

R R l 

R = = R 

(1.1.42) 

x 

1 4 4 

R2 1 

l 2 

• Bei diesem Abgleichverfahren müssen Längen- und Widerstandsänderungen 

sehr genau proportional zueinander sein. Die Quellenspannung U geht nicht ein. 

0 


Seite 24


1.1.5 Induktionsgesetz 

Experiment: Wird ein Stabmagnet in eine Luftspule mit N Windungen hinein bewegt, so 

zeigt ein angeschlossenes Voltmeter einen Ausschlag (Nullpunkt in der Mitte, z.B. Ausschlag 

nach rechts) solange der Magnet hinein bewegt wird. Wird der Magnet anschließend wieder 

heraus bewegt, zeigt sich am Voltmeter ein Ausschlag in die entgegengesetzte Richtung 

(siehe Abb. 1.1.28) . 

Abbildung 1.1.28.: Experiment zum Induktionsgesetz 

Die Induktion B des Magneten erzeugt beim Einführen in die Spulenfläche A einen zeitlich 

veränderlichen Fluss φ . Bei N Windungen der Spule wird 

ψ ....Verkettungsfluss 

∆φ ∆ψ 

∆ ∆ (1.1.43) 

g u N =− =− 

t t 

Induktionsgesetz: Bezogen auf eine einzelne Windung erhalten wir mit dem Induktions- 

gesetz die Quellenspannung zu 

g u 

∆φ 

=− (1.1.44) 

∆ t 

Neben dem Ohm’schen Gesetz ist dies ebenfalls ein wichtiges Gesetz in der Elektrotechnik. 

Anwendung: Verkopplung von zeitabhängigen elektrischen und magnetischen Feldern an 

Bauelementen. 

Bemerkungen: 

• Es ist eine Relativbewegung von Magnet und Spule notwendig. 

• Die induzierte Spannung ist unabhängig vom Anzeigeinstrument immer dann 

vorhanden, wenn sich in einem Raumteil der magnetische Fluss ändert. 


Seite 25


• Das Induktionsgesetz ist die Begründung dafür, dass im leeren Raum elektromagneti- 

sche Wellen existieren können (zur Übertragung von Rundfunk und Fernsehen). 

• Das Induktionsgesetz verknüpft die Änderung des magnetischen Feldes mit einer 

elektrischen Spannung, unabhängig vom Vorhandensein eines Leiters. 

Stromkreis: Wird beim Experiment (gemäß Abb.1.1.28) die Spule zu einem Stromkreis 

geschlossen, so fließt aufgrund der induzierten Spannung ein Strom. Dieser Strom erzeugt 

seinerseits eine magnetische Feldstärke H ’, eine Induktion B ’ und einen Fluss φ ’. 

Diese Größen sind alle dem Fluss φ , der den Strom erzeugt, entgegengesetzt. 

Wirkung: Die durch den Fluss φ des Magneten induzierte Spannung steigt langsamer an. 

Lenz’sche Regel: Der induzierte Strom i wirkt immer der hervorrufenden Flussänderung 

entgegen. 


Seite 26


1.1.6 Selbstinduktion und Induktivität 

Selbstinduktivität: Der Stromfluss durch eine Spule (siehe Abb. 1.1.29) baut ein Magnetfeld 

auf, welches mit dem Fluss φ beschrieben wird. Dieser Fluss erzeugt nach der Lenz’schen 

Regel eine Induktionsspannung u , die der den Strom treibenden Spannung U entgegen- 

L q 

gesetzt ist. 

Abbildung 1.1.29.: Selbstinduktivität einer Spule 

Es ist eine reale Spannungsquelle mit Ri ≠ 0 notwendig, damit uL( t = ∞ ) = 0 und 

it=∞ ( ) ≠∞wird 

Folge: Die Induktionsspannung bremst den Stromanstieg in der Spule. 

Berechnung: Vorausgesetz wird eine ideale Luftspule ohne ohm’schen Widerstand. Nach 

dem Induktionsgesetz gilt für die induzierte Spannung 

L u N = 

t 

∆φ 

∆ (1.1.45) 

Für den Fluss gilt φ = B A= Aµ 0 H und mit H = Ni/ l ergibt sich dann 


Aµ Ni 

l 

0 φ = (1.1.46) 

Seite 27


Eingesetzt erhalten wir 

d Aµ Ni 

u N 

dt l 

0 

L = (1.1.47) 

Da die einzige zeitabhängige Größe der Strom i ist, können die anderen Parameter als 

Konstanten vor das Differential gezogen werden 

u 

L 

= 

µ 

l dt 

(1.1.48) 

2 

A 0N 

di 

Die Konstanten werden zur Induktivität L der Spule zusammengefasst 

L 

Aµ N N 

l R 

R magn wird als der magnetische Widerstand bezeichnet. 

Für die induzierte Spannung erhalten wir damit 

2 2 

= 0 = (1.1.49) 

uLL dt 

Die Einheit der Induktivität ergibt sich zu [ L] = V s/ A= H (Henry). 

magn 

di 

= (1.1.50) 

Eisenkern: Für Luftspulen ist die Induktivität L konstant. Bei Spulen mit Eisenkern geht 

zusätzlich die relative Permeabilität µ r ein, die von der magnetischen Feldstärke abhängt. 


Seite 28


1.1.7 Stromanstieg in der Spule 

Abbildung 1.1.30.: Schaltung zur Messung des Stromanstiegs in einer Spule 

Einschalten: Nach dem Einschalten (Schließen des Schalters in Abb. 1.1.30.) gilt gemäß der 

Maschenregel 

und damit 

di 

= + = + (1.1.51) 

Uq uR uL iR L 

dt 

di 

− = (1.1.52) 

UqiR L 

dt 

DGL: Damit erhalten wir eine Differentialgleichung für den Spulenstrom, ähnlich zur 

Kondensatoraufladung 

di ⋅ L 

= dt 

U − iR 

q 

(1.1.53) 

Substitution: Mit der Substitution x = Uq− iR ergibt sich dx / di =−R 

und damit 

di =−dx / R . Weiterhin setzen wir τ = t ein und erhalten damit 

Ldx 

− = dτ 

(1.1.54) 

Rx 

Lösung: Für die Lösung der DGL bestimmen wir die Integrationsgrenzen neu zu: 

τ = 0: i = 0→ x= U −0⋅ R= 

U 

q q 

τ = t: i = i → x= U −i⋅R Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch 

q 

Seite 29


Damit erhalten wir den Lösungsweg zu 

Uq−iR t 

Uq 

dx R 

=− dτ 

x L 

∫ ∫ 

ln x | 

R 

L 

| 

Uq−iR R 

ln =− t 

U L 

0 

Uq−iR t 

U =− τ 

q 

0 

q 

U − iR= U e 

q q 

−Rt/ 

L 

Für den Stromanstieg erhalten wir abschließend mit der Zeitkonstanten τ : 

(1.1.55) 

τ = L/ R 

(1.156) 

Es ergibt sich eine formal ähnliche Beziehung wie für den Spannungsanstieg beim 

Kondensator 

U 

i e 

R 

Bemerkungen: 1. Anfangswert des Stromes 


− / τ ( 1 ) 

2. Die Spulenspannung ist mit Gl. 1.1.50 

q t 

= − (1.1.57) 

it ( = 0) = 0 

(1.1.58) 

di d U 

u L L ( 1 e ) U e 

dt dt R 

q −t/ r −t/ 

r 

L = = − = q (1.1.59) 

3. Anfangswert der Spulenspannung 

u ( t = 0) = U 

(1.1.60) 

L q 

Seite 30


1.1.8 Energie in der Spule 

Energiebetrag: Der Energiebetrag dw in einer Spule während einer kurzen Zeitspanne dt 

des Stromanstiegs ist 

p = ui ⋅ 

dw = pdt 

Für die Leistung gilt allgemein p = ui und speziell für den Leistungsumsatz an einer 

Induktivität gilt p = iLdi / dt und damit wird 

(1.1.61) 

di 

dw = i L dt = iLdi 

(1.1.62) 

dt 

Energie: Durch Integration auf beiden Seiten erhalten wir die magnetische Energie in der 

Spule zu 

Daraus folgt 

I 

W = L∫ idi 

(1.1.63) 

0 

1 

W LI 

2 

2 

= (1.1.63a) 

Bemerkung: Dieses Ergebnis gilt nur für eine ideale Spule mit konstanter Permeabilität und 

ohne ohm’schen Widerstand. 

Anwendungen: 

1. Eine Spule wird als Energiespeicher verwendet. 

2.Die Spule dient zur Erzeugung von Wechselspannung, Elektrische Wirbelfelder. 

3. Spulen werden auch bei Aufbau von elektrischen Messgeräten verwendet (z.B. Dreheisen- 

messgerät, Drehspulenmesswerk). 

4. Parallelresonanzkreis: Eine Spule wird mit einem Kondensator parallelgeschaltet. 

Dieses Prinzip benutzt man unter anderem bei dem Bau von Lautsprechern für Stereoanlagen. 

5. Spulen werden auch in Fahrraddynamo eingesetzt. 


Seite 31


1.1.9 Rotatorische Spannungserzeugung 

Spannungserzeugung: Aus dem Induktionsgesetzt kann man das Prinzip zur Spannungs- 

erzeugung ableiten, in dem man die zeitabhängige Änderung des Flusses φ .betrachtet: 

Realisierung: Es ist eine Relativbewegung des Magneten und der Spule notwendig. Dazu 

kann wahlweise ein Magnet zu einer ruhenden Spule oder eine Spule zu einem ruhenden 

Magnet bewegt werden. 

Praxis: Eine Drahtspule mit rechteckigem Querschnitt, der Länge l und der Breite b rotiert 

in einem homogenen Magnetfeld B uv (siehe Abb. 1.1.31) . 

Prinzip: Das Prinzip der rotatorischen Spannungserzeugung: 

t = 0: Die Drahtspule stehe in der Stellung ϕ = 0 , so dass der Fluss φ die größtmögliche 

Fläche A= lb durchflutet. 

t = t′ : Nach einer Drehung um den Winkel ϕ 0 tritt nur noch ein Teilfluss φ′= BA′in 

der 

Spule auf, mit A′ = Acosϕ0 . 

ϕ = 90°: 

Die vom Fluss durchsetzte Fläche ist Null. 

ϕ 〉 90° 

: Der Fluss tritt in entgegengesetzter Richtung durch die Fläche. 

Abbildung 1.1.31.: Prinzip der rotatorischen Spannungserzeugung 

Induzierter Fluss: Die Spule rotiere mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω , so dass 

wegen ϕ = ωt 

auch A′ = Acosωt gilt. Damit ergibt sich der zeitabhängige Fluss durch die 

Spulenfläche zu 


φ′ = BAcosωt (1.1.64) 

Seite 32


Induzierte Spannung: Mit Hilfe des Induktionsgesetzes erhalten wir die an den Drahtenden 

abgreifbare Spannung 

dφ′ d 

u =− u ( cos ) sin $ 

ind = = BA ωt =− BAω ωt = usinωt 

(1.1.65) 

dt dt 

Spule: In einer Spule mit N Windungen entsteht die Spannung 

u = − N BAωsinωt (1.1.66) 

Wir erhalten eine sinusförmige Spannung mit dem Scheitelwert (Spitzenwert der Amplitude) 

u$ = N BAω 

(1.1.67) 

Realisierung: Für die Praxis ist es notwendig, die Spannung aus der rotierenden Spule auf 

feststehende Leitungen zu bekommen. Dazu gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten 

(siehe Abb. 1.1.32) : 

1. Abgriff mittels Kommutator (Stromwender): Bei der Drehung der Spule wird die Zu- 

ordnung der Spulenanschlüsse zu den Leitungen so geändert, dass die Polarität der abge- 

griffenen Spannung gleich bleibt. Man erhält eine pulsierende Gleichspannung. 

2. Abgriff über Schleifringe: Mit der Drehung der Spule ändert sich nicht nur die Amplitude, 

sondern auch das Vorzeichen der abgegriffenen Spannung. Man erhält eine Wechselspannung 

u 

ωt 

u 

Abbildung 1.1.32: Abgriff der induzierten Spannung mittels Kommutator oder Schleifringen 


ωt 

Seite 33


1.1.10 Transformator 

Aufbau: Bei einem Transformator sind zwei Spulen durch einen gemeinsamen magneti- 

schen Kraftfluss miteinander gekoppelt (siehe Abb.1.1.33) . Der in der Primärspule erzeugte 

Fluss erzeugt in der Sekundärspule eine Induktionsspannung. Nach dem Induktionsgesetz 

kann ein Transformator nur mit Wechselspannung betrieben werden (Änderung des Magnet- 

flusses). In der Praxis werden die Spulen auf einem weichmagnetischen Eisenkern angeordnet 

zur Erhöhung des Magnetflusses. 

Prinzip: An der Primärspule wird die Wechselspannung angeschlossen, deren Strom i 

N1 1 u 1 

das Feld H1 erzeugt. Die damit verbundene Induktion 1 B ergibt im Querschnitt einen Flussφ 1, 

der die Sekundärspule N2 

durchsetzt und dort aufgrund des Induktionsgesetzes die Spannung 

u und bei geschlossenem Stromkreis den Strom i erzeugt. 

2 

Leerlauf: Es gilt für die Primärseite: 

Abbildung 1.1.33.: Prinzip des Transformators 

2 

dφ 

u N 

dt 

Mit φ1 = φ2 

ist das Übersetzungsverhältnis des Transformators ü : 


1 

1 =− 1 

(1.1.68) 

ü 

u N 

u N 

1 1 = = (1.1.69) 

2 2 

Seite 34


Leistung: Unter der Voraussetzung, dass keine Verluste auftreten, gilt für die Leistungen 

p1 = ui 1 1 = p2 = ui 2 2 und somit 

u1 i1 N1 

= = = ü 

(1.1.70) 

u i N 

2 2 2 

Die Ströme in den Spulen sind umgekehrt proportional den Windungszahlen. 

Praxis: Die Wicklung für die höhere Spannung hat die höhere Windungszahl aus dünnem 

Draht und die Wicklung für die niedrigere Spannung hat die kleinere Windungszahl aus 

dickem Draht. 

Anwendung: Prinzip einer Kraftfahrzeug-Zündspule (siehe Abb. 1.1.34) : 

Die KFZ-Zündspule besteht aus einem Eisenkern mit der Wicklung N1 

aus wenigen 

Windungen dicken Drahtes und der Wicklung N2 

aus vielen Windungen dünnen Drahtes. 


Abbildung 1.1.34.: Prinzip einer KFZ-Zündspule 

Seite 35


Schalter S geschlossen: Der Batteriegleichstrom baut einen magnetischen Fluss im Eisenkern 

auf. Kurzzeitiges Öffnen des Schalters durch die Nockenwelle: 

Schneller Zusammenbruch von φ . Wegen des hohen Übersetzungsverhältnisses 

ü = N1/ N2 

kann man Spannungen zwischen 6 und 30kV erhalten, die durch einen Funkenüberschlag 

an der Zündkerze das Benzin-Luft-Gemisch zur Explosion bringen. 

Kondensator C dient zur Funkenlöschung am Schaltkontakt. 

Bemerkungen: 

1. Um bei Transformatoren möglichst geringe Verluste zu haben, verwendet man Dynamo- 

blech, das eine geringe Fläche unter der Hystereskurve hat. 

2. Zur Übertragung von elektrischer Energie wird mit Transformatoren eine Hochspannung 

erzeugt, die beim Verbraucher wieder heruntertransformiert wird. 

3. Zur galvanischen Trennung von Schaltungsteilen mit verschiedenen Spannungspegeln 

kann ein Transformator zur Signalkopplung verwendet werden. 


Seite 36


1.1.11 Wirbelströme 

Induktion: Zur Erzeugung von Induktionsspannungen sind keine Leiter erforderlich! 

In jedem Volumen, in dem sich ein magnetischer Fluss zeitlich ändert, entstehen induzierte 

Spannungen, die bei Vorhandensein von Ladungsträgern einen Stromfluss zur Folge haben. 

Bei konstantem Magnetfeld kann ein Wirbelstrom durch Bewegung einer metallischen Platte 

in dieser erzeugt werden. 

Entstehung: Eine Ladung q trete mit der Geschwindigkeit v v senkrecht in ein Magnetfeld 

der Induktion B uv ein. Aufgrund der Lorentzkraft wird die Ladung senkrecht zu v und 

v uv 

B 

abgelenkt, bei passender Kraft auf einen Kreis (siehe Abb. 1.1.35) . 

Abbildung 1.1.35.: Entstehung von Wirbelströmen 

Transformatoren: Im Eisenkern eines Transformators ändert sich der Magnetfluss und nach 

dem Induktionsgesetzt werden dann auch Spannungen im Eisenkern induziert. Die Feldlinien 

dieser Spannungen sind in sich geschlossen und erzeugen aufgrund der vorhandenen 

Ladungsträger Kreisströme im Eisen, so genannte Wirbelströme, die das Material erwärmen. 

Man will die Wirbelstromverluste möglichst klein halten, um einen hohen Wirkungsgrad zu 

erzielen. 

Realisierung: Die magnetischen Bauteile werden nicht als massiver Eisenkern realisiert, 

sondern in der Form von dünnen Eisenblechen, die elektrisch isoliert werden durch dünne 

Papier- oder Lackschichten und so den Magnetkern bilden. Zusätzlich wird der elektrische 

Widerstand der eingesetzten Bleche durch Zugabe von Silizium erhöht. 


Seite 37


Hochfrequenz: Da die Induktionsspannungen proportional zur Frequenz sind, müssen bei 

HF-Transformatoren weitere Schritte zur Reduzierung der Wirbelstromverluste unternommen 

werden: Die Eisenkerne werden aus Eisen in Pulverform mit isolierenden thermoplastischen 

Kunststoffen gebildet. Man verwendet dazu schlecht leitende Eisenoxidgemische. 

Schweißen: Nach dem Energieerhaltungssatz wird bei der Erwärmung eines Bauteils 

elektrische oder mechanische Energie in Wärme umgewandelt. Bringt man ein leitendes 

Werkstück in die Nähe einer passend geformten Spule, die mit HF erregt wird, so kann die 

Wärme zum Schmieden, Löten oder Härten ausreichen. 

Wirbelstrombremse: Wird eine gut leitende Metallplatte mit der Geschwindigkeit v in 

v 

einem konstanten Magnetfeld B uv bewegt, so werden die freien Elektronen entsprechend der 

Lorentzkraft beschleunigt. Außerhalb des Feldes schließen sich die Elektronenströme. 

Die Energie der Strömung wird der Bewegungsenergie des Metallteils entnommen, 

so dass dieses proportional zu seiner Geschwindigkeit abgebremst wird. 

Anwendung: 

1. Wirbelstromdämpfung bei Messgeräten im so genannten aperiodischen Grenzfall. 

2. Wirbelstromdämpfung bei Energiezählern. 

3. Abbremsung der Drehbewegung von Motoren, wobei aber eine Abbremsung auf v = 0 

nicht möglich ist. Das erfordert eine zusätzliche Reibungsbremse. 


Seite 38


2 


Seite 39


2. Wechselstromlehre 

2.1 Grundbegriffe 

2.1.1 Vorkommen und Arten von Wechselströmen 

Wechselstrom: Der Schwerpunkt der Anwendungen in der Elektrotechnik liegt auf dem 

Gebiet der Wechselströme und -spannungen. 

Passive Bauteile: Kondensatoren, Induktivitäten und Ohm’sche Widerstände. 

Aktive Bauteile: Generatoren, Motoren. 

Energietechnik: 

• Die Energieerzeugung erfolgt mit Drehstromgeneratoren für große Leistungen, die in 

Kraftwerken von Turbinen angetrieben werden. 

90% der elektrischen Energie werden als Wechselspannungsenergie erzeugt und 

verteilt. 

• Energietransport über weite Strecken nach Herauftransformation der Spannung 

mit einem Transformator. 

Wärmeverluste auf den Leitungen nehmen mit zunehmender Spannung ab. z.B.: 

Spannungen in Europa 400 kV , in Russland und Kanada 700 kV . 

• Umwandlung der elektrischen in mechanische Energie durch Drehstrommotoren. 

Einfache und robuste Motoren, oft mit elektronischer Drehzahlregelung. 

2 

• Frequenzwahl: Bahnstromversorgung mit 

3 Hz 16 , Europäisches Energienetz im 

Verbund 50Hz und USA Energienetz im Verbund 60 Hz . 

• Drehstromnetz: Besondere effektive Energieübertragung in einem Netz von drei mit 

einander verketteten Wechselspannungen. 

Zwei verschiedene Verbraucherspannungsangebote: 230V und 400V . 


Seite 40


Nachrichtentechnik: 

• Sprache und Musik: 16 Hz − 20kHz 

. 

• Sprache beim Telefon: 300Hz − 3400kHz 

. 

• Nachrichtenübertragung: 1 0kHz bis10GHz für Rundfunk, Fernsehen, Funkverkehr, 

Navigation in der Luft und auf See, Radar und Telefonverbindungen 

(inkl. Nachrichtenverkehr auf Datenleitungen) 

• Funkübertragung: Mit elektromagnetischen Wellen erzeugt durch hochfrequente 

Wechselströme. 

. 


Abbildung 2.1.1.: Beispiele verschiedener Wechselströme 

Seite 41


Sinusförmig: Am einfachsten mathematisch zu behandeln sind sinusförmige Wechselgrößen 

nach Teilbild (c) in (Abb. 2.1.1), da bewährte und leistungsfähige Rechenvorschriften 

existieren. 

Dreieck-/ Rechteckförmig: Diese einfach aussehenden Funktionen im Teilbild (a) und (b) 

können mit Hilfe der Fouriertheorie in eine Summe von sinusförmigen Wechselgrößen zerlegt 

werden. 

Allgemein: Wechselgrößen entsprechend Teilbild (d) können nicht mehr mathematisch 

geschlossen sondern nur approximativ durch sinusförmige Wechselgrößen angenähert 

werden. 

Gemeinsamkeit: Wechselgrößen sind dadurch gekennzeichnet, dass alle Werte periodisch 

wiederkehren. 

Periodendauer: Der zeitliche Abstand zwischen 2 beliebigen Punkten gleicher Amplitude 

mit gleicher Phasenlage wird als Periodendauer T bezeichnet. 

Gleichanteil: Reine Wechselgrößen enthalten keinen Gleichanteil, d.h. der zeitliche Mittel- 

wert über eine Periode ist Null. 

Bemerkung: Im Folgenden werden alle Ausführungen für sinusförmige Wechselgrößen 

gemacht wegen des geringeren Rechenaufwands und der großen elektrotechnischen 

Bedeutung. 


Seite 42


2.1.2 Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen 

Sinusförmiger Strom: 

Ein sinusförmiger Strom entsprechend (Abb. 2.1.2a) kann beschrieben werden mit 

i = isinωt $ (2.1.1) 

Hierin bedeutet i den augenblicklichen Strom, $ i den Scheitelwert des Stromes, und ω die 

Kreisfrequenz und t die Zeit 

Abbildung 2.1.2.: Ohm’scher Widerstand: a) Strom- und Spannungsverlauf und b) Leistungsverlauf 


Seite 43


Mit der Periodendauer T und der Frequenz f = 1/ T bestimmt sich die Kreisfrequenz zu 

2π 

ω = 2π f = (2.1.2) 

T 

Die Einheit der Kreisfrequenz ist [ω ] = 1 

s − und die Einheit der Frequenz ist 

1 

[ f ] = s = (Hertz) 

− Hz 

Leistung: 

Bei der Umrechnung von Wechselgrößen in Gleichgrößen soll die mit der Energieart 

verbundene Kenngröße leistungsmäßig zu einer äquivalenten Leistungsberechnung führen. 

Die wesentliche Kenngröße für Wechselgrößen wird daher der Effektivwert und nicht der 

Scheitelwert sein. 

Widerstand: 

Ein sinusförmiger Strom (Gl. 2.1.1) führt an einem ohm’schen Widerstand zu einer 

Erwärmung unabhängig von der Stromrichtung. Die umgesetzte Leistung am Widerstand 

nach dieser Gleichung 

wird damit 

W U 

= = ⋅ = ⋅ = 

t R 

2 

P U I I R 

2 

(2.1.3) 

2 

$ 2 

sin ( ω ) 

(2.1.4) 

P= i ⋅ t ⋅ R 

Der Leistungswert wechselt periodisch zwischen Null und einem Maximalwert ˆP . 

Effektivwert: 

Aus der Sinuskurve des Stromes wird der Effektivwert i so bestimmt, das er genauso groß 

eff 

ist, wie ein ersatzweise fließender Gleichstromwert, um dieselbe Arbeit zu verrichten. 

Es gilt 

Bedeutung: 

T T 

2 

2 

W= P = eff = ∫ ( ) = ( ) 

0 ∫0 

T i RT P t dt R i t dt 

(2.1.5) 

Die schraffierte Fläche unter der Leistungskurve in (Abb. 2.1.2) ist gleich der Rechteckfläche 

mit der Höhe P (der mittleren Leistung) und der Dauer T. 

Bestimmung des Effektivwertes: Wir erhalten die mittlere Leistung P zu 


1 T 

2 2 2 

P= i 

$ 

R sin ( ωt) 

dt = i 

0 

eff ⋅ R 

T ∫ 

(2.1.6) 

Seite 44


Damit bestimmt sich der Effektivwert zu 

$ 1 

( ω ) t (2.1.7) 

T 

T 

2 

ieff = i ∫ sin t d 

0 

Nebenrechnung: Der Wert des Integrals A bestimmt sich zu 

T T 

2 ⎛1⎞ A= ∫ sin ( ωt) dt = ( 1 cos( 2 ) ) 

0 ∫0 

⎜ − ωt 

⎟dt 

⎝2⎠ 1 T 

= ( 1 cos( 2 ) ) 

2 ∫ − ωt 

dt 

0 

1 1 T 

1 1 

= T − cos( 2ωt) dt T sin 2ωT 

2 2∫ = − 

0 

2 2⋅2ω 1 T 1 

= T − sin 4π 

= T 

2 2⋅2π 2 

wobei die Beziehung ω = 2 π /Tverwendet 

und weiterhin sin 4π = sin 0 = 0 eingesetzt 

wurde. 

Effektivwerte: Es folgt damit für den Effektivwert 

Genauso ergibt sich für die sinusförmige Spannung 

1 1 $ i 

ieff = $ i ⋅ ⋅ T = = 0.707$ 

i= 

I 

(2.1.8) 

T 2 2 

u$ 

u 0,707 $ 

eff = = u = U 

(2.1.9) 

2 

Die Effektivwerte werden mit großen Buchstaben abgekürzt, also ieff = I und ueff = U . 

Scheitelfaktor: Das Verhältnis 

wird als Scheitelfaktor bezeichnet. 

$ i u$ 

= = 2 = ε 

I U 

Dieser hat bei sinusförmigen Wechselgrößen den Wert ε sinus 

= 1,414 . 

Andere Kurven: Weitere Werte für Scheitelfaktoren mit anderen Kurvenformen sind: 

• Rechteckförmiger Verlauf → ε = 1 

rechteck 

• Dreieckförmiger Verlauf → ε = 3 = 1,73 


dreieck 

(2.1.10) 

Seite 45


Messgeräte: Handelsübliche Messgeräte sind für die Effektivwertmessung bei Wechsel- 

grössen auf einen Scheitelfaktor von 2 = 1,414 geeicht. Bei der Messung anderer Wechsel- 

grössen ergeben sich aufgrund der unterschiedlichen Werte für den Scheitelfaktor Fehler bei 

der Messung von Effektivwerten. 


Seite 46


2.2 Komplexe Rechnung 

2.2.1 Komplexe Zahlenebene 

Imaginäre Zahl: Senkrecht zur reellen Achse wird eine zweite Achse errichtet mit der 

2 

Einheit j =−1 

wodurch sich die komplexe Zahlenebene ergibt. 

Komplexe Zahl: Eine komplexe Zahl besteht aus einem reellen Teil a und einem imaginären 

Teil jb .(siehe Abb. 2.2.1) 

r = a+ jb 

(2.2.1) 

Abbildung 2.2.1.: Darstellung der komplexen und konjugiert komplexen Zahl 

Konjugiert komplexe Zahl: Zu der komplexen Zahl r lässt sich eine konjugiert komplexe 

Zahl definieren 

Winkel: Die Winkel ϕ und 


* 

r = a− jb 

(2.2.2) 

* 

ϕ der komplexen Zahlen mit der reellen Achse sind 

b 

ϕ = arctan 

a 

* −b 

ϕ = arctan 

a 

(2.2.3) 

Seite 47


Betrag: Für den Betrag der komplexen Zahl oder die Länge des Zeigers gilt 

* 2 2 

r = r = r = a + b 

(2.2.4) 

Komponenten: Der Zusammenhang zwischen den Komponenten und dem Winkel ergibt sich 

zu 

a= rcosϕ 

b= rsinϕ 

Zusammenfassung: Wir erhalten damit als gleichwertige Darstellungen 

r = a+ jb= rcos ϕ + r jsinϕ 

= r (cos ϕ + j sin ϕ) 

(2.2.5) 

(2.2.6) 

Euler: Die Euler’schen Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Sinus und 

Kosinus und der Exponentialfunktion sind 

jϕ 

r = a+ jb= r⋅ e = r(cosϕ + jsin 

ϕ) 

(2.2.7) 

Da die e -Funktion hier nur als „Träger“ für den Winkel ϕ dient, kann man vereinfachend 

schreiben 

Winkelfaktor: Der Winkelfaktor 

jϕ 

r⋅ e = r⋅ exp( jϕ) = r∠ 

ϕ 

(2.2.8) 

j 

e ϕ 

Uhrzeigersinn). Beispiele für häufige Winkelfaktoren sind 

= ∠ ϕ zählt mathematisch positiv (entgegen dem 

ϕ = 0 → exp( j0) = cos(0) + jsin(0) 

= 1 

ϕ = π /2 → exp( jπ /2) = cos( π /2) + jsin( 

π /2) = j 

ϕ = mπ 

→ exp( jπ) = cos( π) + jsin( 

π) 

=−1 

ϕ = 3 π / 2 → exp( j3 π / 2) = cos(3 π / 2) + jsin(3 

π / 2) =−j 

Addition: Für die Addition von zwei Zeigern gilt 

(siehe Abb.2.2.2.) 

r + r = ( a + jb) + ( a + jb ) = ( a + a ) + j( b + b ) 

(2.2.9) 

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 

Subtraktion: Für die Subtraktion von zwei Zeigern gilt 


r − r = ( a + jb) − ( a + jb ) = ( a − a ) + j( b − b ) 

(2.2.10) 

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 

Seite 48


Abbildung 2.2.2.: Addition und Subtraktion komplexer Zahlen 

Multiplikation: Für die Multiplikation von zwei Zeigern in Exponentialform gilt 

jϕ jϕ 

j( 

ϕ + ϕ ) 

rr re r e rr e 

und für die Darstellung in Komponentenform gilt 

1 2 

1 2 

1 2= 1 2 = 1 2 

(2.2.11) 

r1r 2=(a 1+ jb 1) ⋅ (a 2+ jb 2)=(a1a2-b1b 2) + j(a1b 2+a2b 1) 

(2.2.12) 

Division: Für die Division von zwei Zeigern in Exponentialform gilt 

und für die Darstellung in Komponentenform gilt 

r jϕ1 

1 re 1 r1 j( 

ϕ1−ϕ2) = = e 

(2.2.13) 

jϕ2 

r2 r2e r2 

r ( a + jb) ( a + jb)( a − jb ) aa + bb a b −ab 

r a jb a jb a jb a b a b 

1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 

= = = + j 

2 2 2 2 

2 ( 2 + 2) ( 2 + 2)( 2 − 2) 2 + 2 2 + 2 

Potenzieren: Ein Zeiger wird in die n-te Potenz erhoben 

n j n n jn n 

(2.2.14) 

ϕ ϕ 

r = ( r⋅ e ) = r e = r ∠ nϕ 

(2.2.15) 

Radizieren: Aus einem Zeiger wird in die n-te Wurzel gezogen 

= ⋅ = ⋅ = ∠ ϕ / n 

(2.2.16) 

n n jϕ n jϕ/ n n 

r r e r e r 

Differenzieren: Die Differentiation eines Zeigers nach dem Drehwinkel ϕ liefert 

dr d jϕdrjϕ d jϕ 

= r⋅ e = e + r e 

(2.2.17) 

dϕ dϕ dϕ dϕ 

Unter der Annahme, dass die Zeigerlänge konstant bleibt, gilt 


dr 

= 0 

(2.2.18) 

dϕ 

Seite 49


und damit bekommen wir als Ergebnis 

dr d 

dϕ dϕ 

jϕ jϕ 

= r e = r j e jr 

⋅ ⋅ = (2.2.19) 

Durch die Differentiation wird der Ursprungszeiger mit j multipliziert, d.h. um 

° 

den Winkel + 90 =− π / 2 (gegen den Uhrzeiger) gedreht. 

Integrieren: Die Integration eines Zeigers über dem Drehwinkel ϕ liefert 

jϕ jϕ 1 jϕ 

1 

rdϕ = r⋅e⋅ dϕ = r e ⋅ dϕ = r e = r=−j⋅r j j 

∫ ∫ ∫ (2.2.20) 

Durch die Integration wird der Ursprungszeiger mit − j multipliziert, d.h. um 

° 

den Winkel − 90 =− π / 2 (im Uhrzeigersinn) gedreht. 


Seite 50


2.2.2 Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen 

Allgemein: Zur Darstellung von zeitabhängigen Größen sind folgende Kennwerte verwendet 

worden 

• Scheitelwert oder Effektivwert 

• Phasenwinkel gegen die Nullrichtung 

Zeigerdarstellung: Beim Übergang zu Zeigergrößen ergibt sich der Zusammenhang 

Betrag des Zeigers⇒ Scheitelwert der Wechselgrößen 

Phase des Zeigers⇒ Phasenwinkel der Wechselgrößen 

Da die Zeiger mit derselben Frequenz rotieren, bleiben Winkel zwischen verschiedenen 

Zeigern erhalten. 

Drehfaktor: Die konstante Drehung der Zeiger wird mit dem Drehfaktor 

jωt e =∠ ωt = cosωt+ jsinωt 

(2.2.21) 

beschrieben, der den Einheitszeiger auf einem Einheitskreis mit der Winkelgeschwindigkeit 

ω umlaufen lässt. 

Spannungszeiger: Für einen mit der Winkelgeschwindigkeit ω umlaufender Spannungs- 

zeiger mit dem Scheitelwert u $ erhält man dann 

u = u$ ∠ ωt = u$ (cosωt+ jsin ωt) 

(2.2.22) 

Zeitfunktion: Zur Entwicklung einer Zeitfunktion kann dann entweder der Realteil (Kosinus) 

oder der Imaginärteil (Sinus) verwendet werden, z.B. 

{ } $ 

u = Im u = usinωt (2.2.23) 

Phasenwinkel: Führt man einen Phasenwinkel ein, z.B. zwischen dem Strom 

und der entsprechenden Spannung 

ein, ist neben dem Drehfaktor 

notwendig. 

i = $ isinωt = Im i = Im $ i∠ωt (2.2.24) 

{} { } 

{ } 

u = u$ sin( ωt+ ϕ) 

= Im{} u = Im u$ ∠ ( ωt+ ϕ ) 

(2.2.25) 

j t 

t e ω 

j 

∠ ω = der Winkelfaktor e ϕ 

∠ ϕ = zur Beschreibung 

Da in der Wechselstromtechnik die Zeitwerte weniger interessant sind, betrachtet man die 

Zeiger oft als stillstehende Größen, bei denen der Drehfaktor ∠ ωt 

weggelassen wird. 


Seite 51


2.3 Komplexe Rechnung an Zweipolen 

Zweipole: Bauelemente, die nur zwei Anschlussklemmen haben und keine Spannungsquelle 

enthalten, nennt man passive Zweipole. Beispiele sind: (1) Ohm’scher Widerstand, (2) Spule 

und (3) Kondensator. 

Gleichstrom: Ein Gleichstrom erzeugt (im eingeschwungenen Zustand) an einer Spule 

keinen Spannungsabfall und ein Kondensator wirkt als Leitungsunterbrechung. Zeitabhängige 

Vorgänge treten nur beim Ein- oder Ausschalten eines Stromes oder einer Spannung auf. 

Wechselstrom: Da sich Spannung und Strom periodisch mit der Zeit ändern, ist sowohl die 

zeitabhängige Stromänderung bei der Spule als auch die zeitabhängige Spannungsänderungen 

beim Kondensator von zentraler Bedeutung. 

Idealisierung: Im folgenden werden idealisierte Bauelemente untersucht, d.h. 

• die Spule hat nur ein magnetisches Feld, 

• der Kondensator hat nur ein elektrisches Feld und 

• der Widerstand hat nur ein ohm’sches Verhalten (Wirkwiderstand). 

2.3.1 Widerstand 

Strom: Liegt an einem Widerstand (siehe Abb. 2.3.1) eine Wechselspannung u, so erhält 

man für den Strom den zeitabhängigen Wert 

u u$ 

i = = G⋅ u = sinωt = G⋅u$ ⋅ sinωt = isinωt 

R R 

$ (2.3.1) 

Strom und Spannung am Widerstand sind in jedem Augenblick in Phase, d.h. es tritt keine 

Phasenverschiebung ϕ auf. 

Abbildung 2.3.1.: Wechselspannung und -strom am Widerstand 

In dem Zeigerdiagramm sind u und i parallel zur reellen Achse. 

Auf eine komplexe Rechnung kann verzichtet werden, da keine Komponente in Richtung der 

imaginären Achse auftritt. 


Seite 52


Zeitwert: Für den Zeitwert der Leistung P gilt 

2 

u 

= ⋅ = = (2.3.2) 

R 

2 

P u i i R 

Da Spannung und Strom am Widerstand in Phase sind, nimmt die Leistung am Widerstand 

entsprechend (Abb. 2.3.2) periodisch von Null (Spannung und Strom sind Null) bis zu einem 

Maximalwert (Spannung und Strom sind maximal) zu. 

Abbildung 2.3.2.: Leistung am Widerstand 

Mittlere Leistung: Anstelle der periodischen Wirkleistung lässt sich eine mittlere Leistung 

P definieren, die während der Periodendauer T dieselbe Energie W umsetzt, wie die 

schwingende Leistung Pt ( ) . 

T T 

ˆ 2 2 

W = PT = Psin ωtdt = uˆ$ i sin ωtdt 

(2.3.3) 

∫ ∫ 

0 0 

Nach (Gl. 2.1.6) erhalten wir mit den Effektivwerte U = ueff 

und I = ieff 

die mittlere Leistung 

zu: 

2 

W U 

= = ⋅ = ⋅ = (2.3.4) 

T R 

2 

P I U I R 

Ergebnis: Die Wirkleistung ist das Produkt der Effektivwerte von Strom und Spannung. 

Die Einheit ist entsprechend der Einführung in der Gleichstromlehre das Watt (W); die 

Einheit der Energie ist Wattsekunde (Ws)= J (Joule). 

Bemerkung: u := Spannungszeiger mit Betrag u $ 


U := Spannungszeiger mit Betrag U = ueff 

Seite 53


2.3.2 Kondensator 

Strom: Wenn am Kondensator (siehe Abb. 2.3.3) die Spannung u anliegt, erhalten wir 

den Strom 

du 

dt 

c ic= C (2.3.5) 

Abbildung 2.3.3.: Spannung und Strom beim Kondensator 

Für eine sinusförmige Spannung u u $ = sinωt 

ergibt sich 

c 

d 

i ( ˆsin ) ˆ 

c = C u ωt = Cωucosω t 

(2.3.6) 

dt 

Mit der mathematischen Beziehung cosωt = sin ( ωt+ π / 2) ergibt sich abschließend 

i = Cω u$ sin( ωt+ π / 2) 

c 

(2.3.7) 

Wenn der Spannungszeiger U auf der positiven reellen Achse liegt, weist der Stromzeiger I 

in die Richtung der positiven imaginären Achse. 

Zeigerdarstellung: Der Strom i eilt der Spannung u um + 90° 

voraus. In der Zeigerdar- 

c c 

stellung entspricht dieses einer Multiplikation mit + j 

I = jωCU (2.3.8) 

Blindleitwert: Wir führen den kapazitiven Blindleitwert ein (analog zu I = GU ) 

und erhalten damit (analog zu U = RI ) 


B C ω = (2.3.9) 

c 

I I I 

U = =− j =− j = jI 

X c 

(2.3.10) 

jB B ω C 

c c 

Seite 54


Blindwiderstand: Damit erhalten wir den Betrag des kapazitiven Blindwiderstands zu 

X 

c 

1 1 

= = (2.3.11) 

ω C B 

Bemerkung: Blindwiderstand c X und Blindleitwert B c sind eine Funktion der Kreisfrequenz 

ω (siehe Abb. 2.3.4). 

Abbildung 2.3.4.: Phasenwinkel und Frequenzgang des kapazitiven Blindleitwerts und Blindwiderstands 

Der Leitwert wächst proportional zur Kreisfrequenz von Null an; der Widerstand geht von 

sehr großen negativen Werten aus gegen Null. Die Phasenwinkel ϕ B und ϕ X zwischen Strom 

und Spannung sind konstant, d.h. keine Funktion der Kreisfrequenz. 

{ Z} { Z} 

( ϕ = arctan(Im /Re )) 

Leistung: Jeweils nach 90° ist entweder i oder u Null, so dass dann auch die Leistung Null 

wird. Der Verlauf der Leistungsschwingung ist in (Abb. 2.3.5) dargestellt. 

0 bis T/4: Der Kondensator wird vom Generator aufgeladen mit der Energie 

c 

$ 2 1 

W = Cu 

(2.3.12) 

2 

T/4 bis T/2: Der Kondensator entlädt die eben aufgenommene Energie in den Generator 

zurück. 


Seite 55


Abbildung 2.3.5.: Kapazitive Blindleistung beim Kondensator 

T/2 bis 3T/4: Der Generator liefert die Energie bei umgekehrtem Vorzeichen von Strom und 

Spannung. 

3T/4 bis T: Die Energie fließt wieder in den Generator zurück. 

Ergebnis: Beim idealen Kondensator geht keine Energie verloren (als Wärme oder mechani- 

sche Energie), sondern sie pendelt zwischen Generator und Kondensator hin und her. 

Wirkleistung: Die Wirkleistung beim Kondensator ist damit 

P = 0 

(2.3.13) 

Blindleistung: Man definiert eine kapazitive Blindleistung zu ( ϕ = 90 ° , X 〈 0) 

2 2 

c c 

Q = U I = U / X = I Xc 

〈 0 

(2.3.14) 

Die Einheit der Blindleistung ist “Voltampere reactice“ (Var), zur Unterscheidung von der 

Wirkleistung, die die Einheit Watt hat. 


c 

Seite 56


2.3.3 Spule 

Strom: Bei der Spule (siehe Abb. 2.3.6) setzen wir aufgrund der einfachen mathematischen 

Behandlung einen kosinusförmigen Strom voraus 

Spannung: Wir erhalten die Spannung nach 

i =− icosωt $ (2.3.15) 

L 

Abbildung 2.3.6.: Spannung und Strom bei der Spule 

di d 

uL= L = L ( −$ 

icos ωt) 

dt dt 

=Lω$ isinωt = Lω$ icos( ωt−π / 2) 

= u$ sin ωt = u$ 

cos( ωt- π/2) 

(2.3.16) 

Wenn der Spannungszeiger U auf der positiven reellen Achse liegt, weist der Stromzeiger I 

in die Richtung der negativen imaginären Achse. 

Zeigerdarstellung: Die Spannung uL eilt dem Strom i L um + 90° 

vor (Negative Amplitude 

d.h. − 180° 

und − 90° 

Phasenwinkel). 

In der Zeigerdarstellung entspricht dieses einer Multiplikation mit + j 

U = jωLI (2.3.17) 

Blindwiderstand: Wir führen den Betrag des induktiven Blindwiderstands 

ein und erhalten damit 

X L ω = (2.3.18) 

L 

U U U 

I = =− j =− j = jU B L 

(2.3.19) 

jX X ωL 

L L 

Blindleitwert: Damit erhalten wir den Betrag des induktiven Blindleitwerts zu 


B 

L 

1 1 

= = (2.3.20) 

ωL 

X 

L 

Seite 57


Bemerkung: Blindwiderstand C X und Blindleitwert B C sind auch hier entsprechend 

(Abb. 2.3.7 ) eine Funktion der Kreisfrequenz ω . 

Der Widerstand wächst proportional zur Kreisfrequenz von Null an. Der Leitwert geht von 

sehr großen negativen Werten aus gegen Null. Die Phasenwinkel ϕ B und ϕ X zwischen Strom 

und Spannung sind konstant, d.h. keine Funktion der Kreisfrequenz. 

Abbildung 2.3.7.: Phasenwinkel und Frequenzgang des induktiven Blindleitwerts und Blindwiderstands 

Leistung: Jeweils nach 90° ist entweder i oder u Null, so dass dann auch die Leistung Null 

wird. (Siehe Abb.2.3.8, analog zum Kondensator). 

T/4 bis T/2: Die Spule wird vom Generator aufgeladen mit der Energie 

1 2 

W = L$ 

i (2.3.21) 

2 

T/2 bis 3T/4: Die Spule entlädt die eben aufgenommene Energie in den Generator zurück. 

3T/4 bis T: Der Generator liefert die Energie bei umgekehrtem Vorzeichen von Strom und 

Spannung. 

T bis 5T/4: Die Energie fließt wieder in den Generator zurück. 


Seite 58


Abbildung 2.3.8.: Induktive Blindleistung bei der Spule 

Ergebnis: Auch bei der idealen Spule geht keine Energie verloren, sondern sie pendelt 

zwischen Generator und Induktivität hin und her. 

Wirkleistung: Die Wirkleistung bei der Spule ist damit 

P = 0 

(2.3.22) 

Blindleistung: Man definiert eine induktive Blindleistung zu ( ϕ = − 90 ° , X 〉 0) 

2 2 

L L 

Die Einheit der Blindleistung ist “Voltampere reactice“ (Var). 


Q = U I = U / X = I XL 

〉 0 

(2.3.23) 

L 

Seite 59


2.3.4 Leistungsbegriffe in komplexer Darstellung 

Betrachtet wird ein allgemeiner linearer Zweipol von beliebigem inneren Aufbau (Abb.2.4.1). 

An seinen Klemmen liege die zeitharmonische Spannung u( t ) und es fließe der Strom i( t ) 

von der Form: 

Abbildung 2.4.1.: Strom und Spannung an den Klemmen eines Zweipols 

jϕu jωt jωt { } { } 

ut () = uˆ⋅ cos( ωt+ ϕ ) = Reue ˆ e = ReUe u 

jϕi jωt jωt { } { } 

(2.4.1) 

it () = iˆ⋅ cos( ωt+ ϕ ) = Reie ˆ e = ReIe 

(2.4.2) 

i 

Dabei wird ein Verbraucherzählpfeilsystem angenommen. Die momentane Leistung p( t ) 

ist dann: 

Mit dem Additionstheorem 

wird daraus 

p() t = u() t ⋅ i() t 

= uˆ⋅iˆ⋅ cos( ωt + ϕ ) ⋅ cos( ωt 

+ ϕ ) 

u i 

(2..4.3) 

1 

cos( x) ⋅ cos( y) = ( cos( x− y) + cos( x+ 

y ) ) 

(2.4.4) 

2 

1 ˆ 

2 

pt () = uˆ ⋅i⋅ cos( ϕ − ϕ ) + cos( 2ωt 

+ ϕ + ) 

⎡ ϕ ⎤ 

(2.4.5) 

⎣ u i u i ⎦ 

Entsprechend den Zählrichtungen von u( t ) und i( t ) nimmt der Zweipol im Fall pt ( ) 〉 0 

Leistung auf, im Fall pt ( ) 〈 0 gibt er Leistung ab. 

Wir schreiben den Term cos(2 ωt + ϕ + ϕ ) in der Form 

Mit dem Additionstheorem 

wird daraus 

u i 

( ( ) ( ) ) 

cos(2 ωt + ϕ + ϕ ) = cos 2 ωt+ ϕ − ϕ − ϕ 

(2.4.6) 

u i u u i 

cos( x − y) = cos x⋅ cos y+ sin x⋅ 

sin y 

(2.4.7) 

cos(2 ωt + ϕ + ϕ ) = cos2( ωt+ ϕ )cos( ϕ − ϕ ) + sin 2( ωt+ ϕ )sin( ϕ − ϕ ) (2.4.8) 

u i u u i u u i 

und nun können wir damit p( t ) schreiben als: 

{ ( ( ω ϕu) ) ( ϕu ϕi) ( ω ϕu) ( ϕu ϕi 

} 

1 

pt ( ) = uˆ ⋅iˆ⋅ 1+ cos2 t+ cos − + sin 2 t + sin − ) (2.4.9) 

2 


Seite 60


Offenbar besitzt der Term (1 + cos 2( ωt + ϕ )) den Mittelwert 1 und der Term (sin 2( ωt + ϕ )) 

u 

den Mittelwert 0. Man bezeichnet die Leistung, die zeitlich im Mittel vom Zweipol auf- 

genommen wird, als Wirkleistung P . Dem gegenüber steht ein Anteil, der im zeitlichen 

Mittel 0 ist, also eine Leistung, die vom Zweipol aufgenommen und zu anderen Zeiten wieder 

abgegeben wird. Diesen Anteil bezeichnet man als Blindleistung Q und man schreibt 

1 

P = p() t = uˆ⋅iˆ⋅cos( ϕu − ϕi) 

= ueff ⋅ieff ⋅cos( ϕu −ϕ 

i) 

(2.4.10) 

2 

1 

Q = uˆ⋅iˆ⋅sin( ϕu − ϕi) = ueff ⋅ieff ⋅sin( ϕu 

−ϕi) 

2 

Mit der Zerlegung(Gl. 2.4.10, 11) in Wirk- und Blindleistung kann die Momentanleistung 

(Gl. 2.4.9) auch geschrieben werden als 

u 

u 

(2.4.11) 

pt () = P⋅ (1+ cos2( ωt+ ϕ )) + Q⋅ sin2( ωt+ϕ 

) 

(2.4.12) 

In dieser Form erkennt man die Bedeutung der Wirkleistung P als den zeitlichen Mittelwert 

der Momentanleistung sowie die Blindleistung Q als die Amplitude des mittelwertfreien 

und zeitlich schwankenden Anteils der Momentanleistung p( t ) . 

In (Abb. 2.4.2) sind beispielhaft die Funktion ut ( ), it ( ), pt ( ) sowie der zeitliche Mittelwert 

o 

von p( t ) für ϕ − ϕ = 60 dargestellt. 

u i 


Abbildung (2.4.2) Spannung, Strom und Momentanleistung für 

u 

ϕu − ϕi 

= 

60 

o 

Seite 61


Zerlegen wir den Strom in (Abb.2.4.3) in einen Anteil, der mit u( t ) in Phase ist und in einem 

Anteil, der mit u( t ) um π /2 nacheilt, so erhalten wir zwei Stromkomponenten: 

I wirk und I blind . 

Unter Verwendung der komplexen Schreibweise können wir die komplexe Scheinleistung 

1 1 

S P jQ U I uˆiˆe 2 2 

definieren, so dass P = Re{ 

S } und = Im{ 

} 

j( 

ϕu ϕi) 

− 

∗ 

= + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (2.4.13) 

Q S ist. 

Es ist zu beachten, dass der konjugiert komplexe Strom für die Berechnung genutzt werden 

muss. 

Abbildung (2.4.3) Zerlegung des Stromes in einen Wirk- und einen Blindanteil 

Jeder Zweipol kann an seinen Klemmen durch seine Impedanz Z bzw. durch seine 

Admittanz Y = 1/ Z beschrieben werden. Verwendet man die Zusammenhänge U = Z ⋅I 

∗ ∗ ∗ 

und I = Y ⋅U 

, so ergeben sich aus (Gl. 2.4.13) die Formeln für Wirk- und Blindleistung. 

2 2 

1 ∗ 1 ˆ 1 ∗ 

S = U ⋅ I = i ⋅ Z = uˆ⋅ Y 

(2.4.14) 

2 2 2 

2 2 

⎧1 ∗⎫ 

1 1 

P = Re⎨ U ⋅ I ⎬= 

iˆ⋅ Re{ Z} = uˆ⋅Re{ 

Y } 

(2.4.15) 

⎩2 ⎭ 2 2 

2 2 

⎧1 ∗⎫ 

1 1 

Q = Im ⎨ U ⋅ I ⎬= 

iˆ⋅ Im{ Z} =− uˆ⋅Im{ 

Y } 

(2.4.16) 

⎩2 ⎭ 2 2 

Die Definition (Gl.2.4.13) beinhaltet die Konvention, dass induktive Blindleistung positiv und 

kapazitive Blindleistung negativ gezählt wird. 

Der Betrag der Scheinleistung errechnet sich mit: 

ˆ 

2 2 uˆ i 

S = P + Q = ⋅ = ueff ⋅ ieff 

(2.4.17) 

2 2 

Sie ist das Produkt der Effektivwerte von Spannung und Strom. 


Seite 62


An dieser Stelle sei betont, dass die Beträge von komplexen Zeigern in der Hochfrequenz- 

technik stets Scheitelwerte sind, während im Bereich der Energietechnik üblicherweise mit 

Effektivwerten gerechnet wird. 

Einheit: Zur besseren Unterscheidung der Leistungsarten erhalten diese unterschiedliche 

Massbezeichnungen: [ P] = W (Watt), [ ] 

reactive). 


S V 

= A (Voltampere) und [ ] 

Q = Var 

(Voltampere 

Seite 63


Literaturverzeichnis: 

1. ANTEBI, E.: Die Elektrotechnik Epoche. Birkhäuser Verlag, Basel, 1983. 

2. CLAUSERT, H. und G. WIESEMANN: Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 1 

Gleichstrom, Band 2: Wechselstrom. Oldenbourg Verlag, München, 1992. 

3. FLEGEL, G. und K. Birnstiel: Elektrotechnik für den Maschinenbau. Carl Hanser 

Verlag, München Wien, 1982. 

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5. HAGMANN, G.: Grundlagen der Elektrotechnik. Aula-Verlag, Wiesbaden, 2001. 

6. MARINESCU, M.: Wechselstromtechnik. Vieweg, Braunschweig / Wiesbaden, 1999. 

7. MÜLLER, R. und A. Piotrowski: Einführung in die Elektrotechnik, Band 1: 

Energietechnik, Band 2: Nachrichtentechnik. Oldenbourg Verlag, München, 1992. 

8. http:\\www.ktet.fh-muenster.de/Download/ Vorlesung_ET_11/ET_Vorl_11.pdf 

9. H. HAUFE, H. Nienhaus, D. Vogt: Schutz von Kabeln und Leitungen bei Überstrom. 

Berlin; Offenbach: vde-verlag, 1992 (VDE-Schriftenreihe; 32) 

10. R: PREGELA: Grundlagen der Elektrotechnik Teil (1 und 2) 

Alfred Hüthig Verlag GmbH Heidelberg, (1985 und 1986. 

11. http://www.sidiblume.de/info-rom/zzz/norm0207.htm 

12. MOELLER/FRICKE: Grundlagen der Elektrotechnik B.G Teubner-Verlag, 

Stuttgart, 1986. 

13. U. TIETZE. CH. SCHENK: Halbleiterschaltungstechnik Springer- Verlag Berlin, 

Heidelberg, New York, 1993 . 

14. http://www.hfs.ei.tum.de/ext/d04/leistung.pdf. 

15. H. LINSE: Elektrotechnik für Maschinenbauer B. G. Teubner, Stuttgart. 1992. 

16. UNBEHAUEN, R.: Grundlagen der Elektrotechnik 1.(4. Aufl.): Berlin, Springer,1994. 

17. SIMONYI, K.: Theoretische Elektrotechnik, (10. Aufl.) Leipzig: Barth, Edition Dt. 

Verlag der Wissenschaften, 1993. 


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