Technische Universität Berlin Institut für Energie- und ...
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<strong>Technische</strong> <strong>Universität</strong> <strong>Berlin</strong><br />
<strong>Institut</strong> <strong>für</strong> <strong>Energie</strong>- <strong>und</strong> Automatisierungstechnik<br />
Fakultät IV: Elektrotechnik <strong>und</strong> Informatik<br />
Supplement zu<br />
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
im Internet<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1. GLEICHSTROMLEHRE 3<br />
1.1 OHM’SCHE WIDERSTAND 3<br />
1.1.1 Einleitung 3<br />
1.1.2 Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen 7<br />
1.1.2.1 Stromstärke <strong>und</strong> Geschwindigkeit der Strömung 8<br />
1.1.2.2 Elektrische Spannung 10<br />
1.1.3 Einfacher Stromkreis 10<br />
1.1.3.1 Ohm’sches Gesetz 10<br />
1.1.3.2 Elektrischer Widerstand 11<br />
1.1.3.3 Klemmenspannung <strong>und</strong> Leitungswiderstand 12<br />
1.1.4 Kirchhoff’sche Gesetze 13<br />
1.1.4.1 Kirchhoff’sche Knotenregel 13<br />
1.1.4.2 Parallelschaltung von Widerständen 14<br />
1.1.4.3 Kirchhoff’sche Maschenregel 15<br />
1.1.4.4 Reihenschaltung von Widerständen 16<br />
1.1.4.5 Schiebewiderstand ohne Belastung 17<br />
1.1.4.6 Schiebewiderstand mit Belastung 18<br />
1.1.4.7 Vorwiderstand 19<br />
1.1.4.8 Strommesser 20<br />
1.1.4.9 Spannungsmesser 21<br />
1.1.4.10 Spannungs- <strong>und</strong> Strommessung 22<br />
1.1.4.11 Wheatstone’sche Brückenschaltung 23<br />
1.1.5 Induktionsgesetz 25<br />
1.1.6 Selbstinduktion <strong>und</strong> Induktivität 27<br />
1.1.7 Stromanstieg in der Spule 29<br />
1.1.8 <strong>Energie</strong> in der Spule 31<br />
1.1.9 Rotatorische Spannungserzeugung 32<br />
1.1.10 Transformator 34<br />
1.1.11 Wirbelströme 37<br />
2. WECHSELSTROMLEHRE 40<br />
2.1 GRUNDBEGRIFFE 40<br />
2.1.1 Vorkommen <strong>und</strong> Arten von Wechselströmen 40<br />
2.1.2 Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen 43<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 1
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
2.2 KOMPLEXE RECHNUNG 47<br />
2.2.1 Komplexe Zahlenebene 47<br />
2.2.2 Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen 51<br />
2.3 KOMPLEXE RECHNUNG AN ZWEIPOLEN 52<br />
2.3.1 Widerstand 52<br />
2.3.2 Kondensator 54<br />
2.3.3 Spule 57<br />
2.3.4 Leistungsbegriffe in komplexer Darstellung 60<br />
LITERATURVERZEICHNIS:<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 2<br />
64
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1. Gleichstromlehre<br />
1.1 Ohm’sche Widerstand<br />
1.1.1 Einleitung<br />
Zunächst sind einige Gr<strong>und</strong>begriffe zu erklären:<br />
Stromkreis: Weg des elektrischen Stromes<br />
Spannungsquelle: Ursache des elektrischen Stromes<br />
Problem: Wie kann man die Wirkung des elektrischen Stromes sichtbar machen?<br />
Hilfe: Oftmals ist es hilfreich, die Wirkung des elektrischen Stromes mit begreifbaren<br />
physikalischen Größen zu vergleichen. So gilt z.B. der <strong>Energie</strong>erhaltungssatz, der sich in<br />
unterschiedlichen Erscheinungsformen beschreiben lässt:<br />
1 2<br />
1 2<br />
• <strong>Energie</strong> der Bewegung: Wkin = m⋅<br />
v bzw. Wrot = J⋅ ω<br />
2<br />
2<br />
W kin ....Kinetische <strong>Energie</strong> der geradlinigen Bewegung mit der Einheit Joule<br />
2 2<br />
[ J N m m kg s −<br />
= ⋅ = ⋅ ⋅ ]<br />
m .......Masse [ kg ]<br />
v .....Geschwindigkeit [ m/ s]<br />
W rot ....Kinetische <strong>Energie</strong> einer rotierenden Kugel um den Kugelschwerpunkt [ J ]<br />
J<br />
2<br />
.....Massenträgheitsmoment [ kg ⋅ m ]<br />
ω .....Winkelgeschwindigkeit mit der Einheit Radiant je Sek<strong>und</strong>e<br />
−1 −1<br />
[ rad / s = m⋅m⋅s] Frage: Woher kommt der Strom?<br />
Antwort: Für Anwendungen im Bereich kleiner Leistungen können Batterien (Akku-<br />
mulatoren) bzw. Solarzellen eingesetzt werden.<br />
Frage: Woher kommt der Strom <strong>für</strong> großtechnische Anwendungen?<br />
Antwort: Aus Spannungs- oder Stromquellen, z.B. Torbogeneratoren<br />
Der ein-bzw dreiphasige Wechselstromgenerator sind typische Spannungsquellen.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 3
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Man muss auch zwischen einer realen <strong>und</strong> einer idealen Quelle unterscheiden.<br />
Eine ideale Spannungsquelle liefert eine Spannung, die unabhängig vom entnommenen<br />
Strom ist. Der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle ist null.<br />
Eine ideale Stromquelle liefert einen Strom, der unabhängig von der anliegenden Spannung<br />
ist. Der Innenwiderstand einer idealen Stromquelle ist unendlich groß.<br />
Frage: Was ist Elektrotechnik?<br />
Antwort: Zur Elektrotechnik zählt alles, was die physikalischen Wirkungen von elektrischen<br />
Ladungen nutzt. Das Problem daran ist, dass man Ladungen nicht sieht. Deshalb braucht man<br />
Theorie <strong>und</strong> Modellvorstellungen.<br />
Unsere heutige Technik beruht im wesentlichen auf den Leistungen der Werkstofftechnik,<br />
Mikroelektronik, Elektronik, Leistungselektronik <strong>und</strong> der elektromechanischen <strong>Energie</strong>-<br />
wandlertechnologie.<br />
Übrigens: Die Elektroindustrie in der B<strong>und</strong>esrepublik hat im Jahr 2001 "125.000.000.000"<br />
EUR umgesetzt. Dazu gehören die Branchen <strong>Energie</strong>technik, Antriebstechnik, Kommunika-<br />
tionstechnik, Datentechnik, Mess- <strong>und</strong> Automatisierungstechnik, Hausgeräte, Bauelemente,<br />
Fahrzeugelektronik, Unterhaltungselektronik, Beleuchtung <strong>und</strong> Medizintechnik.<br />
Frage: Welche Regelung bzw. Vorschriften existieren <strong>für</strong> die Elektrotechnik?<br />
Antwort: Zu den technische Regelwerken <strong>für</strong> die Elektrotechnik gehören im wesentlichen<br />
DIN VDE/VDI-Normen sowie weitere Regelwerke <strong>und</strong> Richtlinien z.B. IEC Vorschriften.<br />
Dabei sind <strong>für</strong> “Elektrotechnische Anlagen“ nicht alle einzelnen Normen <strong>und</strong> Richtlinien<br />
relevant, so dass <strong>für</strong> den Anlagenbetreiber durchaus ein Problem der richtigen Auswahl<br />
besteht. Die folgenden DIN-Normen bzw. die DIN VDE/VDI-Normen sind eine kleine<br />
Auswahl (DIN: Deutsches <strong>Institut</strong> <strong>für</strong> Normung e.V.).<br />
Hier ist eine kleine Auswahl aus den DIN VDE/VDI-Normen, die im Juli 2002 veröffentlicht<br />
wurden:<br />
VDE 0102:2002-07<br />
Kurzschlussströme in Drehstromnetzen<br />
Berechnung der Ströme.<br />
Norm-Nr: DIN EN 60909-0 VDE-Klass.: VDE 0102.<br />
VDE 0641 Teil 12:2002-07<br />
Leitungsschutzschalter <strong>für</strong> Hausinstallationen <strong>und</strong> ähnliche Zwecke, Leitungsschutzschalter<br />
<strong>für</strong> Wechsel- <strong>und</strong> Gleichstrom (AC <strong>und</strong> DC).<br />
Norm-Nr: DIN EN 60898-2 VDE-Klass.: VDE 0641 Teil 12.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 4
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
VDE 0682 Teil 431:2002-07<br />
Arbeiten unter Spannung, Phasenvergleicher <strong>für</strong> Wechselspannungen von 1 kV bis 36 kV<br />
Norm-Nr: DIN EN 61481 VDE-Klass.: VDE 0682 Teil 431.<br />
VDE 0820 Teil 10:2002-07<br />
Geräteschutzsicherungen, Leitfaden <strong>für</strong> die Anwendung von Geräteschutzsicherungen<br />
Norm-Nr: DIN EN 60127-10 VDE-Klass.: VDE 0820 Teil 10.<br />
VDE 0845 Teil 4-2:2002-07<br />
Blitzschutz - Telekommunikationsleitungen, Leitungen mit metallischen Leitern<br />
Norm-Nr: DIN EN 61663-2 VDE-Klass.: VDE 0845 Teil 4-2.<br />
VDE 0847 Teil 4-4:2002-07<br />
Elektromagnetische Verträglichkeit (EMV), Prüf- <strong>und</strong> Messverfahren - Prüfung <strong>und</strong> Störfestigkeit<br />
gegen schnelle transiente elektrische Störgrößen/Burst<br />
Norm-Nr: DIN EN 61000-4-4 VDE-Klass.: VDE 0847 Teil 4-4.<br />
VDE 0855 Teil 300:2002-07<br />
Funksende-/-empfangssysteme <strong>für</strong> Senderausgangsleistungen bis 1 kW, Sicherheitsanforderungen<br />
Norm-Nr: DIN VDE 0855-300 VDE-Klass.: VDE 0855 Teil 300.<br />
VDI 2243, Ausgabe:2002-07<br />
Recyclingorientierte Produktentwicklung.<br />
VDI/VDE 3527, Ausgabe:2002-07<br />
Kriterien zur Gewährleistung der Unabhängigkeit von Sicherheitsfunktionen bei der Leittechnik-Auslegung.<br />
VDI 4471 Blatt 4, Ausgabe:2002-07<br />
Warensicherungssysteme - Kompatibilität von elektronischen Artikelsicherungssystemen<br />
(EAS) - Radiofrequente Technologie.<br />
VDI 6012 Blatt 3, Ausgabe:2002-07<br />
Dezentrale <strong>Energie</strong>systeme im Gebäude – Brennstoffzellen.<br />
VDE 0530/DIN 57530<br />
Umlaufende elektrische Maschinen Teil 1-8.<br />
DIN VDE 0100 Teil 726<br />
Elektrische Ausrüstung von Hebezeugen.<br />
DIN VDE 0100 Teil 510<br />
Auswahl <strong>und</strong> Errichtung elektrischer Betriebsmittel; Allgemeines; vde-verlag, <strong>Berlin</strong>.<br />
DIN VDE Teil 520<br />
Kabel, Leitungen <strong>und</strong> Stromschienen; vde-verlag, <strong>Berlin</strong>.<br />
DIN VDE 0100 Teil 523<br />
Bemessung von Leitungen <strong>und</strong> Kabel; Mechanische Festigkeit; Spannungsfall <strong>und</strong> Strombelastbarkeit;<br />
vde-verlag, <strong>Berlin</strong>.<br />
DIN VDE 0100 Teil 540<br />
Auswahl <strong>und</strong> Errichtung elektrischer Betriebsmittel, Erdung, Schutzleiter, Potentialausgleichsleiter;<br />
vde-verlag, <strong>Berlin</strong>.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 5
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
DIN VDE 0100 Teil 732<br />
Hausanschlüsse in öffentlichen Kabelnetzen; vde-verlag, <strong>Berlin</strong>.<br />
DIN VDE 0102<br />
Berechnung von Kurzschlussströmen in Drehstromnetzen; vde-verlag, <strong>Berlin</strong>.<br />
Ferner werden von der „International Electrotechnical Commission“ (IEC) Zahlreiche<br />
Vorschriften herausgegeben: z.B. (IEC 34-2) Rotating electrical machines.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 6
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Bauelemente: Neben den Spannungs- <strong>und</strong> Stromquelle sind der Widerstand <strong>und</strong> die Indukti-<br />
vität (Spule) <strong>und</strong> der Kondensator in der Gleichstrom- <strong>und</strong> Wechselstromtechnik von Bedeu-<br />
tung.<br />
Abbildung 1.1.1.: Ausgewählte Bauelemente <strong>und</strong> Kennzeichen in der Elektrotechnik<br />
1.1.2 Physikalische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
−31<br />
Ladungsträger: Metallische Leiter: Negativ geladene Elektronen: Masse m = 9,1⋅10kg, −19<br />
Ladung e=−1,<br />
6 ⋅10<br />
As (Elementarladung).<br />
Atom: Kern mit positiven Protonen, Hülle mit negativen Elektronen, sie sind im Ladungs-<br />
gleichgewicht.<br />
Elektronengas: Frei bewegliche Elektronen in Metallen bewegen sich analog zu Molekülen<br />
in Gasen.<br />
Elektronenleitung: Bei elektrischem Stromfluss bewegen sich die Elektronen mit sehr<br />
geringer “Driftgeschwindigkeit“; von einigen cm/s!<br />
Löcherleitung: Durch Auffüllen von Elektronenfehlplätzen (Löcher) bei Halbleitern.<br />
Bewegungsrichtung entgegengesetzt zur Strömung der Elektronen.<br />
Ionenleitung: Drift von ein- oder zweiwertig positiven oder negativen Molekülen in Gasen<br />
oder Flüssigkeiten.<br />
Stromrichtung: Historisch festgelegt, von der positiven Klemme ( + ), der Quelle, zur<br />
negativen ( − ) Klemme.<br />
Elektronenströmung: Entgegengesetz der “Stromrichtung“.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
e<br />
Seite 7
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
MKSA-System: Das international vorgeschriebene Einheitssystem SI (Systeme Inter-<br />
national) enthält 7 Basiseinheiten, die in (Tab. 1.1) aufgelistet sind .<br />
Dezimale Vorsilben: Für die praktische Schreibweise werden in der Elektrotechnik die<br />
bekannten Buchstaben aus (Tab. 1.2) verwendet.<br />
1.1.2.1 Stromstärke <strong>und</strong> Geschwindigkeit der Strömung<br />
Elektrischer Strom: Drift eines Elektronengases durch einen metallischen Leiter.<br />
Ruhezustand: Je ein Metallatom des Gitters gibt etwa 1 Elektron in das “Elektronengas“ ab.<br />
3 23<br />
In jedem cm des Gitters sind r<strong>und</strong> 10 Elektronen in ungeordneter Bewegung.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Größe Einheit Symbol<br />
1. Länge Meter m<br />
2. Masse Kilogramm kg<br />
3. Zeit Sek<strong>und</strong>e s<br />
4. Stromstärke Ampere A<br />
5. Temperatur Kelvin K<br />
6. Stoffmenge Mol Mol<br />
7. Lichtstärke Candela cd<br />
Tabelle 1.1.: Internationales Einheitssystem SI<br />
Kleiner 1 Größer 1<br />
atto<br />
femto<br />
pico<br />
nano<br />
micro<br />
milli<br />
zenti<br />
dezii<br />
18<br />
10 −<br />
15<br />
10 −<br />
12<br />
10 −<br />
a Exa 18<br />
10<br />
f Peta 15<br />
10<br />
p Tera 12<br />
10<br />
9<br />
10 − n Giga 9<br />
10<br />
6<br />
10 − µ Mega 6<br />
10<br />
3<br />
10 − m Kilo 3<br />
10<br />
2<br />
10 − c Hekto 2<br />
10<br />
1<br />
10 − d Deka 1<br />
10<br />
Tabelle 1.2.: Dezimale Vielfache <strong>und</strong> Teile<br />
E<br />
P<br />
T<br />
G<br />
M<br />
k<br />
h<br />
D<br />
Seite 8
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Abbildung 1.1.2.: Leiterstück als Zylinder mit der Querschnittsfläche A <strong>und</strong> der Länge l<br />
Leiterstück: Bei N Elektronen ergibt sich eine Strömung der Ladungsmenge ∆ Q= −N e,<br />
bei der das letzte Elektron bei der Geschwindigkeit v die Zeit ∆ t braucht, um die Länge l<br />
zu durchlaufen.<br />
Stromstärke: Für das Leiterstück aus (Abb. 1.1.2.) ist der Betrag der Stromstärke<br />
∆Q<br />
Ne nV e<br />
I = = =<br />
∆t ∆t ∆ t<br />
(1.1.2)<br />
mit n= N / V der Konzentration der Ladungsträger. Mit V = A. list<br />
nAle<br />
I =<br />
∆t<br />
Mit der Geschwindigkeit v=∆l/ ∆tergibt<br />
sich dann<br />
Division durch den Querschnitt A liefert die Stromdichte J in<br />
woraus sich die Geschwindigkeit der Elektronen ergibt<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
(1.1.2)<br />
I = neAv<br />
(1.1.3)<br />
A/ m<br />
I<br />
J = = nev<br />
(1.1.4)<br />
A<br />
2<br />
J<br />
v = (1.1.5)<br />
ne<br />
Seite 9
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.2.2 Elektrische Spannung<br />
Ladungsdruck: Ursache <strong>für</strong> die Bewegung der Elektronen, die als elektrische Strömung<br />
sichtbar wird, ist eine elektrische Spannung, die über den Quotienten Arbeit / Ladung<br />
definiert ist<br />
mit der Einheit Volt [ V ]<br />
Elektrische ArbeitW ⎡ Nm Ws VAs ⎤<br />
SpannungU = = V<br />
Ladung Q ⎢<br />
= = =<br />
As As As ⎥<br />
⎣ ⎦ (1.1.6)<br />
Richtung: Die Richtung der Spannung entspricht der Bewegung einer positiven Probeladung.<br />
Spannungsquelle: Spannung anzubieten ist das Merkmal einer Spannungsquelle; dabei<br />
braucht noch kein Strom zu fließen. Erst eine Spannungsquelle in einem geschlossenen<br />
Stromkreis erzeugt einen Strom.<br />
Spannungsreihe: Kleinverbraucher: 2 V, 4 V, 6 V, 12 V, 24 V, 60 V;<br />
Niederspannung: 110 V, 230 V, 400 V;<br />
Hochspannung: 6 kV, 10 kV, 20 kV, 30 kV, 110 kV, 220 kV, 400 kV.<br />
1.1.3 Einfacher Stromkreis<br />
1.1.3.1 Ohm’sches Gesetz<br />
Stromstärke: Die pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt hindurchtretende Elektronenanzahl<br />
ist proportional der Spannung (Ursache). Bei fester Spannung ist sie umgekehrt proportional<br />
dem Widerstand, der dem Strom entgegenwirkt.<br />
Ohm’sches Gesetz: Spannung U <strong>und</strong> Stromstärke I sind über den Widerstand R verknüpft<br />
Dies ist ein zentrales Gesetz in der Elektrotechnik.<br />
U = RI<br />
(1.1.7)<br />
Widerstand: Aus einer Umformung des Ohm’sches Gesetzes ergibt sich der Widerstand zu<br />
U<br />
R = [ Ω ]<br />
(1.1.8)<br />
I<br />
Leitwert: Der Reziprokwert des Widerstandes G = 1/ R hat die Einheit Siemens [S].<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 10
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.3.2 Elektrischer Widerstand<br />
Frage: Was ist ein Widerstand?<br />
Antwort: Er kann als Hindernis <strong>für</strong> den Strom interpretiert werden<br />
Metallischer Draht: Experimentell kann man feststellen:<br />
• Längerer Draht: Spannung muss den Strom über eine längere Strecke treiben,<br />
d.h. der Widerstand nimmt zu<br />
• Dickerer Draht: Elektronen finden mehr Platz, d.h. der Widerstand nimmt ab<br />
• Verschiedene Materialien: Unterschiedliche elektrische Leitfähigkeit κ , bzw.<br />
• unterschiedlicher spezifischer Widerstand ρ führt zu unterschiedlichem Widerstand<br />
bei gleicher Geometrie.<br />
Berechnung: Durch Messung findet man den Zusammenhang <strong>für</strong> einen Draht der Länge l<br />
mit dem Querschnitt A <strong>und</strong> der Leitfähigkeit κ .<br />
ρ l l<br />
R = = (1.1.9)<br />
A κ A<br />
Temperaturabhängigkeit: κ bzw. ρ werden i.a. <strong>für</strong> eine Temperatur von 20 ° C spezi-<br />
fiziert <strong>und</strong> mit einem linearen Temperaturbeiwert α 20 <strong>und</strong> einem quadratischen β 20 versehen.<br />
Der Widerstand bei einer beliebigen Temperatur T, also einer Differenz<br />
berechnet sich dann zu<br />
2<br />
20(1 α20 β20(<br />
) )<br />
∆ T = T − 20°<br />
C<br />
R = R + ∆ T + ∆T (1.1.10)<br />
Widerstand: Spezifischer Widerstand ρ , Leitfähigkeit κ , Temperaturbeiwerte α 20 <strong>und</strong> β 20<br />
sind charakteristische Kenngrößen von Metallen bei 20° C (siehe Tab. 1.3) .<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Werkstoff ρ20<br />
Ω<br />
mm<br />
m<br />
20<br />
κ<br />
20<br />
Sm<br />
2<br />
mm<br />
α<br />
20<br />
10 K<br />
−3 − 1<br />
Silber 0,016 62,5 3,6 0,7<br />
Kupfer 0,017 58 4,3 0,6<br />
Gold 0,022 45,2 3,8 0,5<br />
Aluminium 0,027 37 4,3 1,3<br />
Blei 0,21 4,75 3,9 2,0<br />
Eisen 0,1 10 6,5 6,0<br />
Platin 0,098 10,5 3,5 0,6<br />
β<br />
20<br />
10 K<br />
Tabelle 1.3.: Kenngrößen von verschiedenen Metallen<br />
−6 − 2<br />
Seite 11
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.3.3 Klemmenspannung <strong>und</strong> Leitungswiderstand<br />
In (Abb. 1.1.3) kann die Hin- <strong>und</strong> Rückleitung zwischen dem Verbraucher <strong>und</strong> dem Generator<br />
zu einem Leitungs-Widerstand zusammen gefasst werden.<br />
Abbildung 1.1.3.: Verbraucherwiderstand R V (z.B. Glühlampe), Generator G, Hin- <strong>und</strong> Rückleitung<br />
Stromkreis: In allen Teilelementen des unverzweigten Stromkreises ist der Strom gleich<br />
groß. Mit Hilfe des Ohm’schen Gesetzes erhalten wir den Spannungsabfall am Verbraucher<br />
<strong>und</strong> in der Hin- <strong>und</strong> Rückleitung zusammen<br />
RL<br />
UV = I RV<br />
(1.1.11)<br />
UL = I RL<br />
(1.1.12)<br />
Die Summe der beiden Teilspannungen ist gleich der Klemmenspannung<br />
UG = UL + UV (1.1.13)<br />
Merke: Die folgende Bezeichnungen sind <strong>für</strong> Spannungsquelle üblich:<br />
UG → Generatorspannung<br />
U q → Quellenspannung<br />
U B → Batteriespannung<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
/2<br />
Seite 12
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.4 Kirchhoff’sche Gesetze<br />
1.1.4.1 Kirchhoff’sche Knotenregel<br />
Knotenregel: Gegeben sei ein idealer Generator (z.B. Kraftfahrzeug-Lichtmaschine), der<br />
gleichzeitig mehrere Verbraucher (z.B. Scheinwerferlampe, R<strong>und</strong>funkgerät <strong>und</strong> Zündspule)<br />
versorgt, wie in (Abb. 1.1.4) dargestellt .<br />
Für jeden der 4 Knotenpunkte (1), (2), (3) <strong>und</strong> (4) ist der hineinfliessende Strom gleich dem<br />
hinausfliessenden Strom. Es gilt daher z.B. <strong>für</strong> Knoten (1)<br />
I = ( I + I + I ) = I + ( I + I )<br />
(1.1.14).<br />
1 2 3 1 2 3<br />
Abbildung 1.1.4.: Schaltung zur Knotenregel<br />
1. Kirchhoff’sches Gesetz: Ganz allgemein gilt:<br />
∑ Iab = ∑ I zu<br />
(1.1.15)<br />
Knotenpunkt: Die Summe aller in einen Knoten hineinfliessenden Ströme ist gleich der<br />
Summe aller abfließenden Ströme. Die Bezugsgröße ist die Spannung zwischen den Knoten-<br />
punkten.<br />
Ersatzwiderstand: Der Ersatzwiderstand R E in der (Abbildung1.1.5) ist der Widerstand, den<br />
man anstelle der drei Widerstände R1, R2<strong>und</strong> R 3 in den Kreis schalten muss, damit der<br />
Generator denselben Strom abgibt wie vorher (siehe Abb. 1.1.5) .<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 13
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Abbildung 1.1.5.: Parallelschaltung <strong>und</strong> Ersatzwiderstand E R<br />
1.1.4.2 Parallelschaltung von Widerständen<br />
Spannungsabfall: Es gilt mit dem Ohm’schen Gesetz:<br />
U<br />
U1 = I1R1 ⇒ I1<br />
=<br />
R<br />
U<br />
U2 = I2 R2 ⇒ I2<br />
=<br />
R<br />
U<br />
U3 = I3R3 ⇒ I3<br />
=<br />
R<br />
U<br />
Uq = Iq RE ⇒ Iq<br />
=<br />
R<br />
Nach der Knotenregel (Gl. 1.1.15) ist Iq = I1+ I2 + I3<br />
<strong>und</strong> somit<br />
U U U U<br />
R R R R<br />
1 2<br />
Da Uq= U 1 = U2 = U3<br />
ist, kann die Spannung eliminiert werden<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
q<br />
E<br />
(1.1.16)<br />
q 1 2 3<br />
= + + (1.1.17)<br />
E<br />
E 1 2 3<br />
3<br />
1 1 1 1<br />
= + + (1.1.18)<br />
R R R R<br />
Parallelschaltung: In einer Parallelschaltung ist der Kehrwert des Gesamtwiderstandes<br />
gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände.<br />
Parallelleitwerte: Verwendet man in (Gl. 1.1.18) statt der Widerstände die Leitwerte<br />
G i = 1/ i , so ergibt sich einfacher<br />
R<br />
G = G + G + G<br />
(1.1.19)<br />
E<br />
1 2<br />
Anwendung: Beim Stromteiler (siehe Abb. 1.1.6) mit 2 parallelgeschalteten Widerständen<br />
R 1 <strong>und</strong> 2 R an der Spannung U gilt: 1 1 2 2 1 1 2<br />
3<br />
I = U / R <strong>und</strong> I = U / R oderU = I R <strong>und</strong> U = I R2.<br />
I1 R2<br />
Gleichsetzen liefert = (1.1.20)<br />
I R<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
2 1<br />
Seite 14
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.4.3 Kirchhoff’sche Maschenregel<br />
Abbildung 1.1.6.: Stromteiler<br />
Maschenregel: Bei einer Zusammenschaltung von Widerständen in Reihe, wie in (Abb.<br />
1.1.7), ist die überall gleiche Bezugsgröße der Strom I .<br />
An den einzelnen Widerständen entsteht der Spannungsabfall U1 = I R1, U2 = I R2<strong>und</strong> U3 = I R3<br />
Mit einem willkürlichen festgelegten Richtungssinn in der Masche (geschlossener<br />
Stromkreis) ist die Summe aller Spannungen Null oder<br />
U = U + U + U = IR + IR + IR<br />
q<br />
1 2 3 1 2<br />
= I( R + R + R )<br />
= I⋅R 1 2 3<br />
Abbildung 1.1.7.: Reihenschaltung <strong>und</strong> Ersatzwiderstand<br />
2. Kirchhoff’sches Gesetz: Allgemein gilt <strong>für</strong> jede Masche<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
qi<br />
i i<br />
E<br />
3<br />
(1.1.21)<br />
∑U = ∑ I⋅R<br />
(1.1.22)<br />
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Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Masche: Die Summe aller Quellenspannungen ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle<br />
in der Masche. (Bezugsgröße ist der Strom).<br />
Ersatzwiderstand: Definition siehe Parallelschaltung<br />
Spannungsabfall: Es gilt mit dem Ohm’schen Gesetz:<br />
U = I R<br />
1 1 1<br />
U = I R<br />
2 2<br />
U = I R<br />
3 3 3<br />
U = I R<br />
q E<br />
1.1.4.4 Reihenschaltung von Widerständen<br />
Nach der Maschenregel (Gl. 1.1.22) ist UG= U1+ U2 + U3 <strong>und</strong> somit<br />
E 1 2 3<br />
2<br />
(1.1.23)<br />
I R = I R + I R + I R<br />
(1.1.24)<br />
Da I durch alle Widerstände fließt, kann der Strom eliminiert werden:<br />
R = R + R + R<br />
(1.1.25)<br />
E 1 2 3<br />
Reihenschaltung: In einer Reihenschaltung ist Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand)<br />
gleich der Summe der Einzelwiderstände.<br />
Anwendung: Beim Spannungsteiler (siehe Abb. 1.1.8) mit 2 Widerständen 1<br />
Reihenschaltung gilt: 1 / I = U R1<br />
<strong>und</strong> 2 / I = U R2<br />
mit den Spannungsabfällen<br />
U 1 <strong>und</strong> U 2 an den jeweiligen Widerständen. Gleichsetzen liefert<br />
2 2<br />
R <strong>und</strong> R 2 in<br />
U1 R1<br />
= (1.1.26)<br />
U R<br />
Umstellen dieser Gleichung nach der Teilspannung = ( R, R , U)<br />
1<br />
Ergebnis U1 U2<br />
R2<br />
U f liefert ein bekanntes<br />
2 1 2<br />
R<br />
= = U − U2<br />
(1.1.27)<br />
Abbildung 1.1.8.: Spannungsteiler<br />
1 1<br />
Auflösen nach U ergibt = ⎜ + 1⎟<br />
2 =<br />
R2 R2<br />
<strong>und</strong> damit das Ergebnis <strong>für</strong> einen Spannungsteiler<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
⎛ R ⎞ R + R2<br />
U U U2<br />
(1.1.28)<br />
⎝ ⎠<br />
R<br />
2 U2= U<br />
R1+ R2<br />
(1.1.29)<br />
Seite 16
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.4.5 Schiebewiderstand ohne Belastung<br />
Frage: Was ist ein Schiebewiderstand?<br />
Antwort: Ein variabel in zwei Anteile teilbarer Widerstand.<br />
Die Bauform kann linear (Schiebewiderstand) oder r<strong>und</strong> (Potentiometer) sein,<br />
Wesentliches Merkmal sind drei Anschlüsse, wobei über zwei (gleichfarbig oder außen-<br />
liegend) der komplette Widerstand <strong>und</strong> über den dritten Anschluss (andersfarbig oder in der<br />
Mitte) der Abgriff zugänglich ist.<br />
Schiebewiderstand: In der Praxis macht man häufig Gebrauch von einem Widerstand mit<br />
einem Schleifkontakt zur Realisierung eines variablen Widerstandswertes.<br />
Ausgangsspannung: Nach (Gl. 1.1.26) sind die von den Enden bis zum Schleifkontakt<br />
zählenden Spannungsabgriffe in (Abb. 1.1.9) proportional zur abgegriffenen Widerstands-<br />
länge. Es gilt 0 ≤a≤1 <strong>und</strong> somit U = 0 <strong>für</strong> 0 a = <strong>und</strong> UaU = <strong>für</strong> a = 1.<br />
Aus (Gl. 1.1.26) ergibt sich direkt<br />
a<br />
Abbildung 1.1.9.: Schiebewiderstand (Potentiometer)<br />
a U aR a<br />
a ist ein Maß <strong>für</strong> die Verschiebungsstrecke (oder den Drehwinkel).<br />
= = (1.1.30)<br />
U R<br />
Logarithmischer Widerstand: Bei gleichen Drehwinkeln nimmt der Widerstand in Dekaden<br />
zu (1 bis 10 Ω , 10 bis 100 Ω , 100 bis 1000 Ω , usw.).<br />
Anwendung: In der R<strong>und</strong>funktechnik als Lautstärkeregler. Aufgr<strong>und</strong> der ebenfalls<br />
logarithmischen Charakteristik des Ohres erscheint dann bei gleichen Drehwinkeln die Laut-<br />
stärke entsprechend linear zuzunehmen.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 17
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.4.6 Schiebewiderstand mit Belastung<br />
Belastung: (Gl. 1.1.30) ist nur gültig ohne Belastung des Schleifers. Die Charakteristik ändert<br />
sich, wenn entsprechend (Abb. 1.1.10) aus dem Abgriff ein Strom entnommen wird.<br />
Abbildung 1.1.10.: Potentiometer mit Belastung<br />
U<br />
U<br />
a<br />
Gesucht: f ( aRR , , V )<br />
= (1.1.31)<br />
Ströme: Die Ströme sind I = U / R = U / aR <strong>und</strong> I = U / R = U / R<br />
Weiterhin gilt <strong>für</strong> die Stromsumme<br />
Spannungen: Andererseits ist<br />
Wir erhalten damit<br />
a a a a<br />
U U<br />
v v v a v<br />
a a<br />
= a + v = + (1.1.32)<br />
aR RV<br />
I I I<br />
Division durch U ergibt den Quotienten<br />
a<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
U = U′ + U <strong>und</strong> U′ = I R (1 − a)<br />
(1.1.33)<br />
a<br />
Ua Ua<br />
U = I R(1 − a) + Ua = ( + ) R(1 − a) + Ua<br />
(1.1.34)<br />
aR R<br />
U ⎛ 1 1 ⎞<br />
= ⎜ + ⎟R(1<br />
−a)<br />
+ 1<br />
U ⎜<br />
a aR R ⎟<br />
⎝ V ⎠<br />
RV + aR aRV<br />
= R(1 − a)<br />
+<br />
a⋅R⋅R aR<br />
( R + aR)(1 − a) + aR<br />
=<br />
aR<br />
V<br />
V V<br />
V V<br />
V<br />
(1.1.35)<br />
Seite 18
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Und somit <strong>für</strong> den Kehrwert<br />
U<br />
aR<br />
a<br />
V<br />
=<br />
U ( R + aR)(1 − a) + aR<br />
=<br />
V V<br />
1<br />
( RV V<br />
+ aR−aRV 2<br />
− a R+ aRV)<br />
R<br />
a<br />
=<br />
R 2 R<br />
1+<br />
a −a<br />
R R<br />
V V<br />
a<br />
=<br />
R<br />
1 + a (1 −a)<br />
R<br />
V<br />
Spezialfall: Falls kein Verbraucher angeschlossen ist ( R V = ∞ ), so folgt R/ R V = 0 <strong>und</strong><br />
wir erhalten damit wieder das Ergebnis von (Gl. 1.1.30).<br />
1.1.4.7 Vorwiderstand<br />
a<br />
(1.1.36)<br />
Vorwiderstand: Ein Schiebewiderstand kann auch als Vorwiderstand <strong>für</strong> einen Verbraucher<br />
(z.B. Glühlampe) eingesetzt werden, um eine Spannungsanpassung vorzunehmen<br />
(siehe Abb. 1.1.11) .<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Abbildung 1.1.11.: Schaltung zum Vorwiderstand<br />
Seite 19
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Verbraucherspannung: Der beiden Widerständen gemeinsame Strom I erzeugt den<br />
Spannungsabfall U = I RV<br />
. Der Strom berechnet sich zu I = U / R = U /( aR+ R ) .<br />
V<br />
U0 U0<br />
Daraus erhalten wir UV = RV<br />
=<br />
aR+ R R<br />
V a + 1<br />
R<br />
V min<br />
V<br />
0 ges 0<br />
V<br />
U : Für R = R( beia=<br />
1) erhalten wir den unteren Wert der Verbraucherspannung<br />
V max<br />
a<br />
zu (analog Spannungsteiler!):<br />
U<br />
U R<br />
U<br />
R<br />
+ 1<br />
0<br />
V<br />
V = =<br />
0<br />
R RV + R<br />
V<br />
Die Verbraucherspannung kann demnach nicht zu Null werden. Speziell <strong>für</strong><br />
R = RV<br />
wird U U 0 . /2<br />
V =<br />
(1.1.37)<br />
(1.1.38)<br />
U : Für R = 0( beia=<br />
0) erhalten wir den oberen Wert der Verbraucherspannung zu<br />
a<br />
U = U<br />
(1.1.39)<br />
Problem: Verlustleistung entsteht im Vorwiderstand <strong>und</strong> geht als Wärme “verloren“.<br />
1.1.4.8 Strommesser<br />
Frage: Was ist ein Strommesser(Amperemeter)?<br />
V<br />
Antwort: Ein Messgerät zur Erfassung des Stroms <strong>und</strong> somit ein zusätzlicher Widerstand im<br />
Stromkreis.<br />
Man kann digitale als auch analoge Vielfachmessgeräte einsetzen, die entweder zur Strom-<br />
oder zur Spannungsmessung verwendet werden können.<br />
Prinzip: Bei üblichen Strommessern ist der Vollausschlag schon bei sehr kleinen Strömen<br />
( µ A) erreicht. Zur Messung größerer Ströme muss der Überstrom am Messwerk über einen<br />
Nebenwiderstand vorbeigeleitet werden (siehe Abb. 1.1.12)<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Abbildung 1.1.12.: Realisierung eines Amperemeters mit 4 Messbereichen<br />
0<br />
Seite 20
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Beispiel: Ein Messwerk (siehe Abb.1.1.13) habe den inneren Widerstand R = 333Ω<br />
<strong>und</strong><br />
einen Vollausschlag beim Strom I0 = 0,3mA<br />
. Es soll ein Strom von I = 6A<br />
gemessen werden.<br />
Der Überstrom<br />
Abbildung 1.1.13.: Erweiterung des Strommessbereiches<br />
I = I − I = A<br />
P<br />
0 5,9997<br />
muss am Messwerk vorbeifließen. Es tritt nach dem Ohm’schen Gesetz ein Spannungsabfall<br />
U I R mV<br />
0 = 0 i = 99,9<br />
an Messwerk <strong>und</strong> Nebenwiderstand auf. Damit wird<br />
1.1.4.9 Spannungsmesser<br />
R<br />
U<br />
0,01665<br />
0<br />
P = = Ω<br />
I − I0<br />
Prinzip: Zur Messung kleiner Spannungen muss der Vollausschlag des Spannungsmessers<br />
schon bei sehr kleinen Spannungen ( µ V ) erreicht sein. Bei größeren Spannungen fällt die<br />
Überspannung an einem Reihenwiderstand ab (siehe Abb. 1.1.14) .<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Abbildung 1.1.14.: Realisierung eines Voltmeters mit 4 Messbereichen<br />
i<br />
Seite 21
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Beispiel: Gegeben sei dasselbe Messwerk mit dem inneren Widerstand R = 333Ω<br />
<strong>und</strong> Voll-<br />
ausschlag von U = 100 mV (siehe Abb. 1.1.15) . Es soll eine Spannung von U = 220 V<br />
gemessen werden.<br />
Die Überspannung<br />
0<br />
Abbildung 1.1.15.: Erweiterung des Spannungsmessbereiches<br />
U = U − U = V<br />
v<br />
0 219,9<br />
muss vor dem Messwerk abfallen. Durch Messwerk <strong>und</strong> Vorwiderstand fließt der Strom<br />
I0 = 0,3mA<br />
Nach dem Ohm’schen Gesetz ergibt sich dann <strong>für</strong> den Vorwiderstand:<br />
Uv<br />
Rv = = 733kΩ<br />
I<br />
Ausführung: Wie beim Strommesser sind mehrere Vorwiderstände über einen Schalter<br />
verfügbar.<br />
1.1.4.10 Spannungs- <strong>und</strong> Strommessung<br />
Bei messtechnischen Untersuchungen ist zu bedenken:<br />
Strommesser: In Reihe zum Verbraucher, da der Strom in der Serienschaltung überall gleich<br />
groß ist.<br />
Spannungsmesser: Parallel zum Verbraucher, da die Spannung bei einer Parallelschaltung<br />
gleich groß ist.<br />
Strom- /Spannungsmessung: Bei gleichzeitiger Messung von Strom <strong>und</strong> Spannung eines<br />
Verbrauchers (Leistungsmessung) tritt ein prinzipieller Messfehler auf, da nicht beide<br />
Bedingungen erfüllbar sind. Es sind zwei Schaltungen entsprechend (Abb. 1.1.24) möglich,<br />
deren Auswahl nach den Eigenschaften des Verbrauchers getroffen werden kann.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
i<br />
Seite 22
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Abbildung 1.1.16.: Spannungsrichtige ( iV A ) R R<br />
Messung am Verbraucher R V<br />
1.1.4.11 Wheatstone’sche Brückenschaltung<br />
〉〉 oder stromrichtige ( R 〈〈 R )<br />
iA a<br />
Brückenschaltung: Sie besteht entsprechend (Abb. 1.1.17) aus einer Anordnung von vier<br />
Widerständen, von denen je zwei in Reihenschaltung parallel an einer Spannungsquelle<br />
liegen. Derartige Brückenschaltungen werden ebenfalls bei Dioden-Anwendungen eingesetzt.<br />
Abbildung 1.1.17.: Wheatstone’sche Brückenschaltung<br />
Spannungsabfälle: In den Brückenwiderständen 1 ... R R 4 entstehen die Spannungsabfälle<br />
U U4 ≠ 0V<br />
zwischen den Punkten A <strong>und</strong> B ein-<br />
1 ...<br />
stellt.<br />
, wodurch sich i.a. auch eine Spannung U 5<br />
Anwendung: Die vier Widerstände sind so zu wählen, dass die Brückenspannung U = 0V<br />
<strong>und</strong> somit I5 = 0 A wird. Das Ergebnis einer längeren Rechnung (Anwendung von Knoten<br />
<strong>und</strong> Maschensatz) liefert:<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
5<br />
Seite 23
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Damit <strong>für</strong><br />
I = 0<br />
5<br />
I<br />
5<br />
U0( R2R3−R1R4) =<br />
( R + R )( R R + R ( R R )) + R R ( R + R )<br />
1 3 2 4 5 2+ 4 1 3 2 4<br />
2 4<br />
(1.1.40)<br />
R1 R3<br />
= (1.1.41)<br />
R R<br />
Praxis:Abb.1.1.18 zeigt die Verwendung als Messprinzip <strong>für</strong> die Messung von Widerständen.<br />
Prinzip: Das Brückeninstrument M ist möglichst präzise <strong>und</strong> hat den Nullpunkt in der Mitte.<br />
Der Wert des Widerstandes 1 R muss sehr genau bekannt sein. Die Widerstände 2 R <strong>und</strong> 4 R<br />
werden als Teilwiderstände eines Schiebewiderstandes realisiert.<br />
Abbildung 1.1.18.: Bestimmung von Widerständen mit der Wheatstone’schen Brückenschaltung<br />
Messung: Der unbekannte Widerstand x<br />
R wird anstelle von 3<br />
R angeschlossen <strong>und</strong> der<br />
Schleifkontakt solange verschoben, bis das Instrument keinen Ausschlag mehr anzeigt.<br />
Rechnung: Analog zu (Gl. 1.1.41) gilt dann<br />
Hinweis:<br />
R R l<br />
R = = R<br />
(1.1.42)<br />
x<br />
1 4 4<br />
R2 1<br />
l 2<br />
• Bei diesem Abgleichverfahren müssen Längen- <strong>und</strong> Widerstandsänderungen<br />
sehr genau proportional zueinander sein. Die Quellenspannung U geht nicht ein.<br />
0<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 24
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.5 Induktionsgesetz<br />
Experiment: Wird ein Stabmagnet in eine Luftspule mit N Windungen hinein bewegt, so<br />
zeigt ein angeschlossenes Voltmeter einen Ausschlag (Nullpunkt in der Mitte, z.B. Ausschlag<br />
nach rechts) solange der Magnet hinein bewegt wird. Wird der Magnet anschließend wieder<br />
heraus bewegt, zeigt sich am Voltmeter ein Ausschlag in die entgegengesetzte Richtung<br />
(siehe Abb. 1.1.28) .<br />
Abbildung 1.1.28.: Experiment zum Induktionsgesetz<br />
Die Induktion B des Magneten erzeugt beim Einführen in die Spulenfläche A einen zeitlich<br />
veränderlichen Fluss φ . Bei N Windungen der Spule wird<br />
ψ ....Verkettungsfluss<br />
∆φ ∆ψ<br />
∆ ∆ (1.1.43)<br />
g u N =− =−<br />
t t<br />
Induktionsgesetz: Bezogen auf eine einzelne Windung erhalten wir mit dem Induktions-<br />
gesetz die Quellenspannung zu<br />
g u<br />
∆φ<br />
=− (1.1.44)<br />
∆ t<br />
Neben dem Ohm’schen Gesetz ist dies ebenfalls ein wichtiges Gesetz in der Elektrotechnik.<br />
Anwendung: Verkopplung von zeitabhängigen elektrischen <strong>und</strong> magnetischen Feldern an<br />
Bauelementen.<br />
Bemerkungen:<br />
• Es ist eine Relativbewegung von Magnet <strong>und</strong> Spule notwendig.<br />
• Die induzierte Spannung ist unabhängig vom Anzeigeinstrument immer dann<br />
vorhanden, wenn sich in einem Raumteil der magnetische Fluss ändert.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 25
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
• Das Induktionsgesetz ist die Begründung da<strong>für</strong>, dass im leeren Raum elektromagneti-<br />
sche Wellen existieren können (zur Übertragung von R<strong>und</strong>funk <strong>und</strong> Fernsehen).<br />
• Das Induktionsgesetz verknüpft die Änderung des magnetischen Feldes mit einer<br />
elektrischen Spannung, unabhängig vom Vorhandensein eines Leiters.<br />
Stromkreis: Wird beim Experiment (gemäß Abb.1.1.28) die Spule zu einem Stromkreis<br />
geschlossen, so fließt aufgr<strong>und</strong> der induzierten Spannung ein Strom. Dieser Strom erzeugt<br />
seinerseits eine magnetische Feldstärke H ’, eine Induktion B ’ <strong>und</strong> einen Fluss φ ’.<br />
Diese Größen sind alle dem Fluss φ , der den Strom erzeugt, entgegengesetzt.<br />
Wirkung: Die durch den Fluss φ des Magneten induzierte Spannung steigt langsamer an.<br />
Lenz’sche Regel: Der induzierte Strom i wirkt immer der hervorrufenden Flussänderung<br />
entgegen.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 26
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.6 Selbstinduktion <strong>und</strong> Induktivität<br />
Selbstinduktivität: Der Stromfluss durch eine Spule (siehe Abb. 1.1.29) baut ein Magnetfeld<br />
auf, welches mit dem Fluss φ beschrieben wird. Dieser Fluss erzeugt nach der Lenz’schen<br />
Regel eine Induktionsspannung u , die der den Strom treibenden Spannung U entgegen-<br />
L q<br />
gesetzt ist.<br />
Abbildung 1.1.29.: Selbstinduktivität einer Spule<br />
Es ist eine reale Spannungsquelle mit Ri ≠ 0 notwendig, damit uL( t = ∞ ) = 0 <strong>und</strong><br />
it=∞ ( ) ≠∞wird<br />
Folge: Die Induktionsspannung bremst den Stromanstieg in der Spule.<br />
Berechnung: Vorausgesetz wird eine ideale Luftspule ohne ohm’schen Widerstand. Nach<br />
dem Induktionsgesetz gilt <strong>für</strong> die induzierte Spannung<br />
L u N =<br />
t<br />
∆φ<br />
∆ (1.1.45)<br />
Für den Fluss gilt φ = B A= Aµ 0 H <strong>und</strong> mit H = Ni/ l ergibt sich dann<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Aµ Ni<br />
l<br />
0 φ = (1.1.46)<br />
Seite 27
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Eingesetzt erhalten wir<br />
d Aµ Ni<br />
u N<br />
dt l<br />
0<br />
L = (1.1.47)<br />
Da die einzige zeitabhängige Größe der Strom i ist, können die anderen Parameter als<br />
Konstanten vor das Differential gezogen werden<br />
u<br />
L<br />
=<br />
µ<br />
l dt<br />
(1.1.48)<br />
2<br />
A 0N<br />
di<br />
Die Konstanten werden zur Induktivität L der Spule zusammengefasst<br />
L<br />
Aµ N N<br />
l R<br />
R magn wird als der magnetische Widerstand bezeichnet.<br />
Für die induzierte Spannung erhalten wir damit<br />
2 2<br />
= 0 = (1.1.49)<br />
uLL dt<br />
Die Einheit der Induktivität ergibt sich zu [ L] = V s/ A= H (Henry).<br />
magn<br />
di<br />
= (1.1.50)<br />
Eisenkern: Für Luftspulen ist die Induktivität L konstant. Bei Spulen mit Eisenkern geht<br />
zusätzlich die relative Permeabilität µ r ein, die von der magnetischen Feldstärke abhängt.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 28
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.7 Stromanstieg in der Spule<br />
Abbildung 1.1.30.: Schaltung zur Messung des Stromanstiegs in einer Spule<br />
Einschalten: Nach dem Einschalten (Schließen des Schalters in Abb. 1.1.30.) gilt gemäß der<br />
Maschenregel<br />
<strong>und</strong> damit<br />
di<br />
= + = + (1.1.51)<br />
Uq uR uL iR L<br />
dt<br />
di<br />
− = (1.1.52)<br />
UqiR L<br />
dt<br />
DGL: Damit erhalten wir eine Differentialgleichung <strong>für</strong> den Spulenstrom, ähnlich zur<br />
Kondensatoraufladung<br />
di ⋅ L<br />
= dt<br />
U − iR<br />
q<br />
(1.1.53)<br />
Substitution: Mit der Substitution x = Uq− iR ergibt sich dx / di =−R<br />
<strong>und</strong> damit<br />
di =−dx / R . Weiterhin setzen wir τ = t ein <strong>und</strong> erhalten damit<br />
Ldx<br />
− = dτ<br />
(1.1.54)<br />
Rx<br />
Lösung: Für die Lösung der DGL bestimmen wir die Integrationsgrenzen neu zu:<br />
τ = 0: i = 0→ x= U −0⋅ R=<br />
U<br />
q q<br />
τ = t: i = i → x= U −i⋅R Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
q<br />
Seite 29
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Damit erhalten wir den Lösungsweg zu<br />
Uq−iR t<br />
Uq<br />
dx R<br />
=− dτ<br />
x L<br />
∫ ∫<br />
ln x |<br />
R<br />
L<br />
|<br />
Uq−iR R<br />
ln =− t<br />
U L<br />
0<br />
Uq−iR t<br />
U =− τ<br />
q<br />
0<br />
q<br />
U − iR= U e<br />
q q<br />
−Rt/<br />
L<br />
Für den Stromanstieg erhalten wir abschließend mit der Zeitkonstanten τ :<br />
(1.1.55)<br />
τ = L/ R<br />
(1.156)<br />
Es ergibt sich eine formal ähnliche Beziehung wie <strong>für</strong> den Spannungsanstieg beim<br />
Kondensator<br />
U<br />
i e<br />
R<br />
Bemerkungen: 1. Anfangswert des Stromes<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
− / τ ( 1 )<br />
2. Die Spulenspannung ist mit Gl. 1.1.50<br />
q t<br />
= − (1.1.57)<br />
it ( = 0) = 0<br />
(1.1.58)<br />
di d U<br />
u L L ( 1 e ) U e<br />
dt dt R<br />
q −t/ r −t/<br />
r<br />
L = = − = q (1.1.59)<br />
3. Anfangswert der Spulenspannung<br />
u ( t = 0) = U<br />
(1.1.60)<br />
L q<br />
Seite 30
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.8 <strong>Energie</strong> in der Spule<br />
<strong>Energie</strong>betrag: Der <strong>Energie</strong>betrag dw in einer Spule während einer kurzen Zeitspanne dt<br />
des Stromanstiegs ist<br />
p = ui ⋅<br />
dw = pdt<br />
Für die Leistung gilt allgemein p = ui <strong>und</strong> speziell <strong>für</strong> den Leistungsumsatz an einer<br />
Induktivität gilt p = iLdi / dt <strong>und</strong> damit wird<br />
(1.1.61)<br />
di<br />
dw = i L dt = iLdi<br />
(1.1.62)<br />
dt<br />
<strong>Energie</strong>: Durch Integration auf beiden Seiten erhalten wir die magnetische <strong>Energie</strong> in der<br />
Spule zu<br />
Daraus folgt<br />
I<br />
W = L∫ idi<br />
(1.1.63)<br />
0<br />
1<br />
W LI<br />
2<br />
2<br />
= (1.1.63a)<br />
Bemerkung: Dieses Ergebnis gilt nur <strong>für</strong> eine ideale Spule mit konstanter Permeabilität <strong>und</strong><br />
ohne ohm’schen Widerstand.<br />
Anwendungen:<br />
1. Eine Spule wird als <strong>Energie</strong>speicher verwendet.<br />
2.Die Spule dient zur Erzeugung von Wechselspannung, Elektrische Wirbelfelder.<br />
3. Spulen werden auch bei Aufbau von elektrischen Messgeräten verwendet (z.B. Dreheisen-<br />
messgerät, Drehspulenmesswerk).<br />
4. Parallelresonanzkreis: Eine Spule wird mit einem Kondensator parallelgeschaltet.<br />
Dieses Prinzip benutzt man unter anderem bei dem Bau von Lautsprechern <strong>für</strong> Stereoanlagen.<br />
5. Spulen werden auch in Fahrraddynamo eingesetzt.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 31
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.9 Rotatorische Spannungserzeugung<br />
Spannungserzeugung: Aus dem Induktionsgesetzt kann man das Prinzip zur Spannungs-<br />
erzeugung ableiten, in dem man die zeitabhängige Änderung des Flusses φ .betrachtet:<br />
Realisierung: Es ist eine Relativbewegung des Magneten <strong>und</strong> der Spule notwendig. Dazu<br />
kann wahlweise ein Magnet zu einer ruhenden Spule oder eine Spule zu einem ruhenden<br />
Magnet bewegt werden.<br />
Praxis: Eine Drahtspule mit rechteckigem Querschnitt, der Länge l <strong>und</strong> der Breite b rotiert<br />
in einem homogenen Magnetfeld B uv (siehe Abb. 1.1.31) .<br />
Prinzip: Das Prinzip der rotatorischen Spannungserzeugung:<br />
t = 0: Die Drahtspule stehe in der Stellung ϕ = 0 , so dass der Fluss φ die größtmögliche<br />
Fläche A= lb durchflutet.<br />
t = t′ : Nach einer Drehung um den Winkel ϕ 0 tritt nur noch ein Teilfluss φ′= BA′in<br />
der<br />
Spule auf, mit A′ = Acosϕ0 .<br />
ϕ = 90°:<br />
Die vom Fluss durchsetzte Fläche ist Null.<br />
ϕ 〉 90°<br />
: Der Fluss tritt in entgegengesetzter Richtung durch die Fläche.<br />
Abbildung 1.1.31.: Prinzip der rotatorischen Spannungserzeugung<br />
Induzierter Fluss: Die Spule rotiere mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω , so dass<br />
wegen ϕ = ωt<br />
auch A′ = Acosωt gilt. Damit ergibt sich der zeitabhängige Fluss durch die<br />
Spulenfläche zu<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
φ′ = BAcosωt (1.1.64)<br />
Seite 32
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Induzierte Spannung: Mit Hilfe des Induktionsgesetzes erhalten wir die an den Drahtenden<br />
abgreifbare Spannung<br />
dφ′ d<br />
u =− u ( cos ) sin $<br />
ind = = BA ωt =− BAω ωt = usinωt<br />
(1.1.65)<br />
dt dt<br />
Spule: In einer Spule mit N Windungen entsteht die Spannung<br />
u = − N BAωsinωt (1.1.66)<br />
Wir erhalten eine sinusförmige Spannung mit dem Scheitelwert (Spitzenwert der Amplitude)<br />
u$ = N BAω<br />
(1.1.67)<br />
Realisierung: Für die Praxis ist es notwendig, die Spannung aus der rotierenden Spule auf<br />
feststehende Leitungen zu bekommen. Dazu gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten<br />
(siehe Abb. 1.1.32) :<br />
1. Abgriff mittels Kommutator (Stromwender): Bei der Drehung der Spule wird die Zu-<br />
ordnung der Spulenanschlüsse zu den Leitungen so geändert, dass die Polarität der abge-<br />
griffenen Spannung gleich bleibt. Man erhält eine pulsierende Gleichspannung.<br />
2. Abgriff über Schleifringe: Mit der Drehung der Spule ändert sich nicht nur die Amplitude,<br />
sondern auch das Vorzeichen der abgegriffenen Spannung. Man erhält eine Wechselspannung<br />
u<br />
ωt<br />
u<br />
Abbildung 1.1.32: Abgriff der induzierten Spannung mittels Kommutator oder Schleifringen<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
ωt<br />
Seite 33
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.10 Transformator<br />
Aufbau: Bei einem Transformator sind zwei Spulen durch einen gemeinsamen magneti-<br />
schen Kraftfluss miteinander gekoppelt (siehe Abb.1.1.33) . Der in der Primärspule erzeugte<br />
Fluss erzeugt in der Sek<strong>und</strong>ärspule eine Induktionsspannung. Nach dem Induktionsgesetz<br />
kann ein Transformator nur mit Wechselspannung betrieben werden (Änderung des Magnet-<br />
flusses). In der Praxis werden die Spulen auf einem weichmagnetischen Eisenkern angeordnet<br />
zur Erhöhung des Magnetflusses.<br />
Prinzip: An der Primärspule wird die Wechselspannung angeschlossen, deren Strom i<br />
N1 1 u 1<br />
das Feld H1 erzeugt. Die damit verb<strong>und</strong>ene Induktion 1 B ergibt im Querschnitt einen Flussφ 1,<br />
der die Sek<strong>und</strong>ärspule N2<br />
durchsetzt <strong>und</strong> dort aufgr<strong>und</strong> des Induktionsgesetzes die Spannung<br />
u <strong>und</strong> bei geschlossenem Stromkreis den Strom i erzeugt.<br />
2<br />
Leerlauf: Es gilt <strong>für</strong> die Primärseite:<br />
Abbildung 1.1.33.: Prinzip des Transformators<br />
2<br />
dφ<br />
u N<br />
dt<br />
Mit φ1 = φ2<br />
ist das Übersetzungsverhältnis des Transformators ü :<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
1<br />
1 =− 1<br />
(1.1.68)<br />
ü<br />
u N<br />
u N<br />
1 1 = = (1.1.69)<br />
2 2<br />
Seite 34
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Leistung: Unter der Voraussetzung, dass keine Verluste auftreten, gilt <strong>für</strong> die Leistungen<br />
p1 = ui 1 1 = p2 = ui 2 2 <strong>und</strong> somit<br />
u1 i1 N1<br />
= = = ü<br />
(1.1.70)<br />
u i N<br />
2 2 2<br />
Die Ströme in den Spulen sind umgekehrt proportional den Windungszahlen.<br />
Praxis: Die Wicklung <strong>für</strong> die höhere Spannung hat die höhere Windungszahl aus dünnem<br />
Draht <strong>und</strong> die Wicklung <strong>für</strong> die niedrigere Spannung hat die kleinere Windungszahl aus<br />
dickem Draht.<br />
Anwendung: Prinzip einer Kraftfahrzeug-Zündspule (siehe Abb. 1.1.34) :<br />
Die KFZ-Zündspule besteht aus einem Eisenkern mit der Wicklung N1<br />
aus wenigen<br />
Windungen dicken Drahtes <strong>und</strong> der Wicklung N2<br />
aus vielen Windungen dünnen Drahtes.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Abbildung 1.1.34.: Prinzip einer KFZ-Zündspule<br />
Seite 35
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Schalter S geschlossen: Der Batteriegleichstrom baut einen magnetischen Fluss im Eisenkern<br />
auf. Kurzzeitiges Öffnen des Schalters durch die Nockenwelle:<br />
Schneller Zusammenbruch von φ . Wegen des hohen Übersetzungsverhältnisses<br />
ü = N1/ N2<br />
kann man Spannungen zwischen 6 <strong>und</strong> 30kV erhalten, die durch einen Funkenüberschlag<br />
an der Zündkerze das Benzin-Luft-Gemisch zur Explosion bringen.<br />
Kondensator C dient zur Funkenlöschung am Schaltkontakt.<br />
Bemerkungen:<br />
1. Um bei Transformatoren möglichst geringe Verluste zu haben, verwendet man Dynamo-<br />
blech, das eine geringe Fläche unter der Hystereskurve hat.<br />
2. Zur Übertragung von elektrischer <strong>Energie</strong> wird mit Transformatoren eine Hochspannung<br />
erzeugt, die beim Verbraucher wieder heruntertransformiert wird.<br />
3. Zur galvanischen Trennung von Schaltungsteilen mit verschiedenen Spannungspegeln<br />
kann ein Transformator zur Signalkopplung verwendet werden.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 36
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
1.1.11 Wirbelströme<br />
Induktion: Zur Erzeugung von Induktionsspannungen sind keine Leiter erforderlich!<br />
In jedem Volumen, in dem sich ein magnetischer Fluss zeitlich ändert, entstehen induzierte<br />
Spannungen, die bei Vorhandensein von Ladungsträgern einen Stromfluss zur Folge haben.<br />
Bei konstantem Magnetfeld kann ein Wirbelstrom durch Bewegung einer metallischen Platte<br />
in dieser erzeugt werden.<br />
Entstehung: Eine Ladung q trete mit der Geschwindigkeit v v senkrecht in ein Magnetfeld<br />
der Induktion B uv ein. Aufgr<strong>und</strong> der Lorentzkraft wird die Ladung senkrecht zu v <strong>und</strong><br />
v uv<br />
B<br />
abgelenkt, bei passender Kraft auf einen Kreis (siehe Abb. 1.1.35) .<br />
Abbildung 1.1.35.: Entstehung von Wirbelströmen<br />
Transformatoren: Im Eisenkern eines Transformators ändert sich der Magnetfluss <strong>und</strong> nach<br />
dem Induktionsgesetzt werden dann auch Spannungen im Eisenkern induziert. Die Feldlinien<br />
dieser Spannungen sind in sich geschlossen <strong>und</strong> erzeugen aufgr<strong>und</strong> der vorhandenen<br />
Ladungsträger Kreisströme im Eisen, so genannte Wirbelströme, die das Material erwärmen.<br />
Man will die Wirbelstromverluste möglichst klein halten, um einen hohen Wirkungsgrad zu<br />
erzielen.<br />
Realisierung: Die magnetischen Bauteile werden nicht als massiver Eisenkern realisiert,<br />
sondern in der Form von dünnen Eisenblechen, die elektrisch isoliert werden durch dünne<br />
Papier- oder Lackschichten <strong>und</strong> so den Magnetkern bilden. Zusätzlich wird der elektrische<br />
Widerstand der eingesetzten Bleche durch Zugabe von Silizium erhöht.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 37
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Hochfrequenz: Da die Induktionsspannungen proportional zur Frequenz sind, müssen bei<br />
HF-Transformatoren weitere Schritte zur Reduzierung der Wirbelstromverluste unternommen<br />
werden: Die Eisenkerne werden aus Eisen in Pulverform mit isolierenden thermoplastischen<br />
Kunststoffen gebildet. Man verwendet dazu schlecht leitende Eisenoxidgemische.<br />
Schweißen: Nach dem <strong>Energie</strong>erhaltungssatz wird bei der Erwärmung eines Bauteils<br />
elektrische oder mechanische <strong>Energie</strong> in Wärme umgewandelt. Bringt man ein leitendes<br />
Werkstück in die Nähe einer passend geformten Spule, die mit HF erregt wird, so kann die<br />
Wärme zum Schmieden, Löten oder Härten ausreichen.<br />
Wirbelstrombremse: Wird eine gut leitende Metallplatte mit der Geschwindigkeit v in<br />
v<br />
einem konstanten Magnetfeld B uv bewegt, so werden die freien Elektronen entsprechend der<br />
Lorentzkraft beschleunigt. Außerhalb des Feldes schließen sich die Elektronenströme.<br />
Die <strong>Energie</strong> der Strömung wird der Bewegungsenergie des Metallteils entnommen,<br />
so dass dieses proportional zu seiner Geschwindigkeit abgebremst wird.<br />
Anwendung:<br />
1. Wirbelstromdämpfung bei Messgeräten im so genannten aperiodischen Grenzfall.<br />
2. Wirbelstromdämpfung bei <strong>Energie</strong>zählern.<br />
3. Abbremsung der Drehbewegung von Motoren, wobei aber eine Abbremsung auf v = 0<br />
nicht möglich ist. Das erfordert eine zusätzliche Reibungsbremse.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 38
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
2<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 39
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
2. Wechselstromlehre<br />
2.1 Gr<strong>und</strong>begriffe<br />
2.1.1 Vorkommen <strong>und</strong> Arten von Wechselströmen<br />
Wechselstrom: Der Schwerpunkt der Anwendungen in der Elektrotechnik liegt auf dem<br />
Gebiet der Wechselströme <strong>und</strong> -spannungen.<br />
Passive Bauteile: Kondensatoren, Induktivitäten <strong>und</strong> Ohm’sche Widerstände.<br />
Aktive Bauteile: Generatoren, Motoren.<br />
<strong>Energie</strong>technik:<br />
• Die <strong>Energie</strong>erzeugung erfolgt mit Drehstromgeneratoren <strong>für</strong> große Leistungen, die in<br />
Kraftwerken von Turbinen angetrieben werden.<br />
90% der elektrischen <strong>Energie</strong> werden als Wechselspannungsenergie erzeugt <strong>und</strong><br />
verteilt.<br />
• <strong>Energie</strong>transport über weite Strecken nach Herauftransformation der Spannung<br />
mit einem Transformator.<br />
Wärmeverluste auf den Leitungen nehmen mit zunehmender Spannung ab. z.B.:<br />
Spannungen in Europa 400 kV , in Russland <strong>und</strong> Kanada 700 kV .<br />
• Umwandlung der elektrischen in mechanische <strong>Energie</strong> durch Drehstrommotoren.<br />
Einfache <strong>und</strong> robuste Motoren, oft mit elektronischer Drehzahlregelung.<br />
2<br />
• Frequenzwahl: Bahnstromversorgung mit<br />
3 Hz 16 , Europäisches <strong>Energie</strong>netz im<br />
Verb<strong>und</strong> 50Hz <strong>und</strong> USA <strong>Energie</strong>netz im Verb<strong>und</strong> 60 Hz .<br />
• Drehstromnetz: Besondere effektive <strong>Energie</strong>übertragung in einem Netz von drei mit<br />
einander verketteten Wechselspannungen.<br />
Zwei verschiedene Verbraucherspannungsangebote: 230V <strong>und</strong> 400V .<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 40
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Nachrichtentechnik:<br />
• Sprache <strong>und</strong> Musik: 16 Hz − 20kHz<br />
.<br />
• Sprache beim Telefon: 300Hz − 3400kHz<br />
.<br />
• Nachrichtenübertragung: 1 0kHz bis10GHz <strong>für</strong> R<strong>und</strong>funk, Fernsehen, Funkverkehr,<br />
Navigation in der Luft <strong>und</strong> auf See, Radar <strong>und</strong> Telefonverbindungen<br />
(inkl. Nachrichtenverkehr auf Datenleitungen)<br />
• Funkübertragung: Mit elektromagnetischen Wellen erzeugt durch hochfrequente<br />
Wechselströme.<br />
.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Abbildung 2.1.1.: Beispiele verschiedener Wechselströme<br />
Seite 41
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Sinusförmig: Am einfachsten mathematisch zu behandeln sind sinusförmige Wechselgrößen<br />
nach Teilbild (c) in (Abb. 2.1.1), da bewährte <strong>und</strong> leistungsfähige Rechenvorschriften<br />
existieren.<br />
Dreieck-/ Rechteckförmig: Diese einfach aussehenden Funktionen im Teilbild (a) <strong>und</strong> (b)<br />
können mit Hilfe der Fouriertheorie in eine Summe von sinusförmigen Wechselgrößen zerlegt<br />
werden.<br />
Allgemein: Wechselgrößen entsprechend Teilbild (d) können nicht mehr mathematisch<br />
geschlossen sondern nur approximativ durch sinusförmige Wechselgrößen angenähert<br />
werden.<br />
Gemeinsamkeit: Wechselgrößen sind dadurch gekennzeichnet, dass alle Werte periodisch<br />
wiederkehren.<br />
Periodendauer: Der zeitliche Abstand zwischen 2 beliebigen Punkten gleicher Amplitude<br />
mit gleicher Phasenlage wird als Periodendauer T bezeichnet.<br />
Gleichanteil: Reine Wechselgrößen enthalten keinen Gleichanteil, d.h. der zeitliche Mittel-<br />
wert über eine Periode ist Null.<br />
Bemerkung: Im Folgenden werden alle Ausführungen <strong>für</strong> sinusförmige Wechselgrößen<br />
gemacht wegen des geringeren Rechenaufwands <strong>und</strong> der großen elektrotechnischen<br />
Bedeutung.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 42
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
2.1.2 Eigenschaften sinusförmiger Wechselgrößen<br />
Sinusförmiger Strom:<br />
Ein sinusförmiger Strom entsprechend (Abb. 2.1.2a) kann beschrieben werden mit<br />
i = isinωt $ (2.1.1)<br />
Hierin bedeutet i den augenblicklichen Strom, $ i den Scheitelwert des Stromes, <strong>und</strong> ω die<br />
Kreisfrequenz <strong>und</strong> t die Zeit<br />
Abbildung 2.1.2.: Ohm’scher Widerstand: a) Strom- <strong>und</strong> Spannungsverlauf <strong>und</strong> b) Leistungsverlauf<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 43
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Mit der Periodendauer T <strong>und</strong> der Frequenz f = 1/ T bestimmt sich die Kreisfrequenz zu<br />
2π<br />
ω = 2π f = (2.1.2)<br />
T<br />
Die Einheit der Kreisfrequenz ist [ω ] = 1<br />
s − <strong>und</strong> die Einheit der Frequenz ist<br />
1<br />
[ f ] = s = (Hertz)<br />
− Hz<br />
Leistung:<br />
Bei der Umrechnung von Wechselgrößen in Gleichgrößen soll die mit der <strong>Energie</strong>art<br />
verb<strong>und</strong>ene Kenngröße leistungsmäßig zu einer äquivalenten Leistungsberechnung führen.<br />
Die wesentliche Kenngröße <strong>für</strong> Wechselgrößen wird daher der Effektivwert <strong>und</strong> nicht der<br />
Scheitelwert sein.<br />
Widerstand:<br />
Ein sinusförmiger Strom (Gl. 2.1.1) führt an einem ohm’schen Widerstand zu einer<br />
Erwärmung unabhängig von der Stromrichtung. Die umgesetzte Leistung am Widerstand<br />
nach dieser Gleichung<br />
wird damit<br />
W U<br />
= = ⋅ = ⋅ =<br />
t R<br />
2<br />
P U I I R<br />
2<br />
(2.1.3)<br />
2<br />
$ 2<br />
sin ( ω )<br />
(2.1.4)<br />
P= i ⋅ t ⋅ R<br />
Der Leistungswert wechselt periodisch zwischen Null <strong>und</strong> einem Maximalwert ˆP .<br />
Effektivwert:<br />
Aus der Sinuskurve des Stromes wird der Effektivwert i so bestimmt, das er genauso groß<br />
eff<br />
ist, wie ein ersatzweise fließender Gleichstromwert, um dieselbe Arbeit zu verrichten.<br />
Es gilt<br />
Bedeutung:<br />
T T<br />
2<br />
2<br />
W= P = eff = ∫ ( ) = ( )<br />
0 ∫0<br />
T i RT P t dt R i t dt<br />
(2.1.5)<br />
Die schraffierte Fläche unter der Leistungskurve in (Abb. 2.1.2) ist gleich der Rechteckfläche<br />
mit der Höhe P (der mittleren Leistung) <strong>und</strong> der Dauer T.<br />
Bestimmung des Effektivwertes: Wir erhalten die mittlere Leistung P zu<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
1 T<br />
2 2 2<br />
P= i<br />
$<br />
R sin ( ωt)<br />
dt = i<br />
0<br />
eff ⋅ R<br />
T ∫<br />
(2.1.6)<br />
Seite 44
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Damit bestimmt sich der Effektivwert zu<br />
$ 1<br />
( ω ) t (2.1.7)<br />
T<br />
T<br />
2<br />
ieff = i ∫ sin t d<br />
0<br />
Nebenrechnung: Der Wert des Integrals A bestimmt sich zu<br />
T T<br />
2 ⎛1⎞ A= ∫ sin ( ωt) dt = ( 1 cos( 2 ) )<br />
0 ∫0<br />
⎜ − ωt<br />
⎟dt<br />
⎝2⎠ 1 T<br />
= ( 1 cos( 2 ) )<br />
2 ∫ − ωt<br />
dt<br />
0<br />
1 1 T<br />
1 1<br />
= T − cos( 2ωt) dt T sin 2ωT<br />
2 2∫ = −<br />
0<br />
2 2⋅2ω 1 T 1<br />
= T − sin 4π<br />
= T<br />
2 2⋅2π 2<br />
wobei die Beziehung ω = 2 π /Tverwendet<br />
<strong>und</strong> weiterhin sin 4π = sin 0 = 0 eingesetzt<br />
wurde.<br />
Effektivwerte: Es folgt damit <strong>für</strong> den Effektivwert<br />
Genauso ergibt sich <strong>für</strong> die sinusförmige Spannung<br />
1 1 $ i<br />
ieff = $ i ⋅ ⋅ T = = 0.707$<br />
i=<br />
I<br />
(2.1.8)<br />
T 2 2<br />
u$<br />
u 0,707 $<br />
eff = = u = U<br />
(2.1.9)<br />
2<br />
Die Effektivwerte werden mit großen Buchstaben abgekürzt, also ieff = I <strong>und</strong> ueff = U .<br />
Scheitelfaktor: Das Verhältnis<br />
wird als Scheitelfaktor bezeichnet.<br />
$ i u$<br />
= = 2 = ε<br />
I U<br />
Dieser hat bei sinusförmigen Wechselgrößen den Wert ε sinus<br />
= 1,414 .<br />
Andere Kurven: Weitere Werte <strong>für</strong> Scheitelfaktoren mit anderen Kurvenformen sind:<br />
• Rechteckförmiger Verlauf → ε = 1<br />
rechteck<br />
• Dreieckförmiger Verlauf → ε = 3 = 1,73<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
dreieck<br />
(2.1.10)<br />
Seite 45
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Messgeräte: Handelsübliche Messgeräte sind <strong>für</strong> die Effektivwertmessung bei Wechsel-<br />
grössen auf einen Scheitelfaktor von 2 = 1,414 geeicht. Bei der Messung anderer Wechsel-<br />
grössen ergeben sich aufgr<strong>und</strong> der unterschiedlichen Werte <strong>für</strong> den Scheitelfaktor Fehler bei<br />
der Messung von Effektivwerten.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 46
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
2.2 Komplexe Rechnung<br />
2.2.1 Komplexe Zahlenebene<br />
Imaginäre Zahl: Senkrecht zur reellen Achse wird eine zweite Achse errichtet mit der<br />
2<br />
Einheit j =−1<br />
wodurch sich die komplexe Zahlenebene ergibt.<br />
Komplexe Zahl: Eine komplexe Zahl besteht aus einem reellen Teil a <strong>und</strong> einem imaginären<br />
Teil jb .(siehe Abb. 2.2.1)<br />
r = a+ jb<br />
(2.2.1)<br />
Abbildung 2.2.1.: Darstellung der komplexen <strong>und</strong> konjugiert komplexen Zahl<br />
Konjugiert komplexe Zahl: Zu der komplexen Zahl r lässt sich eine konjugiert komplexe<br />
Zahl definieren<br />
Winkel: Die Winkel ϕ <strong>und</strong><br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
*<br />
r = a− jb<br />
(2.2.2)<br />
*<br />
ϕ der komplexen Zahlen mit der reellen Achse sind<br />
b<br />
ϕ = arctan<br />
a<br />
* −b<br />
ϕ = arctan<br />
a<br />
(2.2.3)<br />
Seite 47
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Betrag: Für den Betrag der komplexen Zahl oder die Länge des Zeigers gilt<br />
* 2 2<br />
r = r = r = a + b<br />
(2.2.4)<br />
Komponenten: Der Zusammenhang zwischen den Komponenten <strong>und</strong> dem Winkel ergibt sich<br />
zu<br />
a= rcosϕ<br />
b= rsinϕ<br />
Zusammenfassung: Wir erhalten damit als gleichwertige Darstellungen<br />
r = a+ jb= rcos ϕ + r jsinϕ<br />
= r (cos ϕ + j sin ϕ)<br />
(2.2.5)<br />
(2.2.6)<br />
Euler: Die Euler’schen Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Sinus <strong>und</strong><br />
Kosinus <strong>und</strong> der Exponentialfunktion sind<br />
jϕ<br />
r = a+ jb= r⋅ e = r(cosϕ + jsin<br />
ϕ)<br />
(2.2.7)<br />
Da die e -Funktion hier nur als „Träger“ <strong>für</strong> den Winkel ϕ dient, kann man vereinfachend<br />
schreiben<br />
Winkelfaktor: Der Winkelfaktor<br />
jϕ<br />
r⋅ e = r⋅ exp( jϕ) = r∠<br />
ϕ<br />
(2.2.8)<br />
j<br />
e ϕ<br />
Uhrzeigersinn). Beispiele <strong>für</strong> häufige Winkelfaktoren sind<br />
= ∠ ϕ zählt mathematisch positiv (entgegen dem<br />
ϕ = 0 → exp( j0) = cos(0) + jsin(0)<br />
= 1<br />
ϕ = π /2 → exp( jπ /2) = cos( π /2) + jsin(<br />
π /2) = j<br />
ϕ = mπ<br />
→ exp( jπ) = cos( π) + jsin(<br />
π)<br />
=−1<br />
ϕ = 3 π / 2 → exp( j3 π / 2) = cos(3 π / 2) + jsin(3<br />
π / 2) =−j<br />
Addition: Für die Addition von zwei Zeigern gilt<br />
(siehe Abb.2.2.2.)<br />
r + r = ( a + jb) + ( a + jb ) = ( a + a ) + j( b + b )<br />
(2.2.9)<br />
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2<br />
Subtraktion: Für die Subtraktion von zwei Zeigern gilt<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
r − r = ( a + jb) − ( a + jb ) = ( a − a ) + j( b − b )<br />
(2.2.10)<br />
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2<br />
Seite 48
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Abbildung 2.2.2.: Addition <strong>und</strong> Subtraktion komplexer Zahlen<br />
Multiplikation: Für die Multiplikation von zwei Zeigern in Exponentialform gilt<br />
jϕ jϕ<br />
j(<br />
ϕ + ϕ )<br />
rr re r e rr e<br />
<strong>und</strong> <strong>für</strong> die Darstellung in Komponentenform gilt<br />
1 2<br />
1 2<br />
1 2= 1 2 = 1 2<br />
(2.2.11)<br />
r1r 2=(a 1+ jb 1) ⋅ (a 2+ jb 2)=(a1a2-b1b 2) + j(a1b 2+a2b 1)<br />
(2.2.12)<br />
Division: Für die Division von zwei Zeigern in Exponentialform gilt<br />
<strong>und</strong> <strong>für</strong> die Darstellung in Komponentenform gilt<br />
r jϕ1<br />
1 re 1 r1 j(<br />
ϕ1−ϕ2) = = e<br />
(2.2.13)<br />
jϕ2<br />
r2 r2e r2<br />
r ( a + jb) ( a + jb)( a − jb ) aa + bb a b −ab<br />
r a jb a jb a jb a b a b<br />
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2<br />
= = = + j<br />
2 2 2 2<br />
2 ( 2 + 2) ( 2 + 2)( 2 − 2) 2 + 2 2 + 2<br />
Potenzieren: Ein Zeiger wird in die n-te Potenz erhoben<br />
n j n n jn n<br />
(2.2.14)<br />
ϕ ϕ<br />
r = ( r⋅ e ) = r e = r ∠ nϕ<br />
(2.2.15)<br />
Radizieren: Aus einem Zeiger wird in die n-te Wurzel gezogen<br />
= ⋅ = ⋅ = ∠ ϕ / n<br />
(2.2.16)<br />
n n jϕ n jϕ/ n n<br />
r r e r e r<br />
Differenzieren: Die Differentiation eines Zeigers nach dem Drehwinkel ϕ liefert<br />
dr d jϕdrjϕ d jϕ<br />
= r⋅ e = e + r e<br />
(2.2.17)<br />
dϕ dϕ dϕ dϕ<br />
Unter der Annahme, dass die Zeigerlänge konstant bleibt, gilt<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
dr<br />
= 0<br />
(2.2.18)<br />
dϕ<br />
Seite 49
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
<strong>und</strong> damit bekommen wir als Ergebnis<br />
dr d<br />
dϕ dϕ<br />
jϕ jϕ<br />
= r e = r j e jr<br />
⋅ ⋅ = (2.2.19)<br />
Durch die Differentiation wird der Ursprungszeiger mit j multipliziert, d.h. um<br />
°<br />
den Winkel + 90 =− π / 2 (gegen den Uhrzeiger) gedreht.<br />
Integrieren: Die Integration eines Zeigers über dem Drehwinkel ϕ liefert<br />
jϕ jϕ 1 jϕ<br />
1<br />
rdϕ = r⋅e⋅ dϕ = r e ⋅ dϕ = r e = r=−j⋅r j j<br />
∫ ∫ ∫ (2.2.20)<br />
Durch die Integration wird der Ursprungszeiger mit − j multipliziert, d.h. um<br />
°<br />
den Winkel − 90 =− π / 2 (im Uhrzeigersinn) gedreht.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 50
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
2.2.2 Darstellung sinusförmiger Wechselgrößen<br />
Allgemein: Zur Darstellung von zeitabhängigen Größen sind folgende Kennwerte verwendet<br />
worden<br />
• Scheitelwert oder Effektivwert<br />
• Phasenwinkel gegen die Nullrichtung<br />
Zeigerdarstellung: Beim Übergang zu Zeigergrößen ergibt sich der Zusammenhang<br />
Betrag des Zeigers⇒ Scheitelwert der Wechselgrößen<br />
Phase des Zeigers⇒ Phasenwinkel der Wechselgrößen<br />
Da die Zeiger mit derselben Frequenz rotieren, bleiben Winkel zwischen verschiedenen<br />
Zeigern erhalten.<br />
Drehfaktor: Die konstante Drehung der Zeiger wird mit dem Drehfaktor<br />
jωt e =∠ ωt = cosωt+ jsinωt<br />
(2.2.21)<br />
beschrieben, der den Einheitszeiger auf einem Einheitskreis mit der Winkelgeschwindigkeit<br />
ω umlaufen lässt.<br />
Spannungszeiger: Für einen mit der Winkelgeschwindigkeit ω umlaufender Spannungs-<br />
zeiger mit dem Scheitelwert u $ erhält man dann<br />
u = u$ ∠ ωt = u$ (cosωt+ jsin ωt)<br />
(2.2.22)<br />
Zeitfunktion: Zur Entwicklung einer Zeitfunktion kann dann entweder der Realteil (Kosinus)<br />
oder der Imaginärteil (Sinus) verwendet werden, z.B.<br />
{ } $<br />
u = Im u = usinωt (2.2.23)<br />
Phasenwinkel: Führt man einen Phasenwinkel ein, z.B. zwischen dem Strom<br />
<strong>und</strong> der entsprechenden Spannung<br />
ein, ist neben dem Drehfaktor<br />
notwendig.<br />
i = $ isinωt = Im i = Im $ i∠ωt (2.2.24)<br />
{} { }<br />
{ }<br />
u = u$ sin( ωt+ ϕ)<br />
= Im{} u = Im u$ ∠ ( ωt+ ϕ )<br />
(2.2.25)<br />
j t<br />
t e ω<br />
j<br />
∠ ω = der Winkelfaktor e ϕ<br />
∠ ϕ = zur Beschreibung<br />
Da in der Wechselstromtechnik die Zeitwerte weniger interessant sind, betrachtet man die<br />
Zeiger oft als stillstehende Größen, bei denen der Drehfaktor ∠ ωt<br />
weggelassen wird.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 51
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
2.3 Komplexe Rechnung an Zweipolen<br />
Zweipole: Bauelemente, die nur zwei Anschlussklemmen haben <strong>und</strong> keine Spannungsquelle<br />
enthalten, nennt man passive Zweipole. Beispiele sind: (1) Ohm’scher Widerstand, (2) Spule<br />
<strong>und</strong> (3) Kondensator.<br />
Gleichstrom: Ein Gleichstrom erzeugt (im eingeschwungenen Zustand) an einer Spule<br />
keinen Spannungsabfall <strong>und</strong> ein Kondensator wirkt als Leitungsunterbrechung. Zeitabhängige<br />
Vorgänge treten nur beim Ein- oder Ausschalten eines Stromes oder einer Spannung auf.<br />
Wechselstrom: Da sich Spannung <strong>und</strong> Strom periodisch mit der Zeit ändern, ist sowohl die<br />
zeitabhängige Stromänderung bei der Spule als auch die zeitabhängige Spannungsänderungen<br />
beim Kondensator von zentraler Bedeutung.<br />
Idealisierung: Im folgenden werden idealisierte Bauelemente untersucht, d.h.<br />
• die Spule hat nur ein magnetisches Feld,<br />
• der Kondensator hat nur ein elektrisches Feld <strong>und</strong><br />
• der Widerstand hat nur ein ohm’sches Verhalten (Wirkwiderstand).<br />
2.3.1 Widerstand<br />
Strom: Liegt an einem Widerstand (siehe Abb. 2.3.1) eine Wechselspannung u, so erhält<br />
man <strong>für</strong> den Strom den zeitabhängigen Wert<br />
u u$<br />
i = = G⋅ u = sinωt = G⋅u$ ⋅ sinωt = isinωt<br />
R R<br />
$ (2.3.1)<br />
Strom <strong>und</strong> Spannung am Widerstand sind in jedem Augenblick in Phase, d.h. es tritt keine<br />
Phasenverschiebung ϕ auf.<br />
Abbildung 2.3.1.: Wechselspannung <strong>und</strong> -strom am Widerstand<br />
In dem Zeigerdiagramm sind u <strong>und</strong> i parallel zur reellen Achse.<br />
Auf eine komplexe Rechnung kann verzichtet werden, da keine Komponente in Richtung der<br />
imaginären Achse auftritt.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 52
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Zeitwert: Für den Zeitwert der Leistung P gilt<br />
2<br />
u<br />
= ⋅ = = (2.3.2)<br />
R<br />
2<br />
P u i i R<br />
Da Spannung <strong>und</strong> Strom am Widerstand in Phase sind, nimmt die Leistung am Widerstand<br />
entsprechend (Abb. 2.3.2) periodisch von Null (Spannung <strong>und</strong> Strom sind Null) bis zu einem<br />
Maximalwert (Spannung <strong>und</strong> Strom sind maximal) zu.<br />
Abbildung 2.3.2.: Leistung am Widerstand<br />
Mittlere Leistung: Anstelle der periodischen Wirkleistung lässt sich eine mittlere Leistung<br />
P definieren, die während der Periodendauer T dieselbe <strong>Energie</strong> W umsetzt, wie die<br />
schwingende Leistung Pt ( ) .<br />
T T<br />
ˆ 2 2<br />
W = PT = Psin ωtdt = uˆ$ i sin ωtdt<br />
(2.3.3)<br />
∫ ∫<br />
0 0<br />
Nach (Gl. 2.1.6) erhalten wir mit den Effektivwerte U = ueff<br />
<strong>und</strong> I = ieff<br />
die mittlere Leistung<br />
zu:<br />
2<br />
W U<br />
= = ⋅ = ⋅ = (2.3.4)<br />
T R<br />
2<br />
P I U I R<br />
Ergebnis: Die Wirkleistung ist das Produkt der Effektivwerte von Strom <strong>und</strong> Spannung.<br />
Die Einheit ist entsprechend der Einführung in der Gleichstromlehre das Watt (W); die<br />
Einheit der <strong>Energie</strong> ist Wattsek<strong>und</strong>e (Ws)= J (Joule).<br />
Bemerkung: u := Spannungszeiger mit Betrag u $<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
U := Spannungszeiger mit Betrag U = ueff<br />
Seite 53
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
2.3.2 Kondensator<br />
Strom: Wenn am Kondensator (siehe Abb. 2.3.3) die Spannung u anliegt, erhalten wir<br />
den Strom<br />
du<br />
dt<br />
c ic= C (2.3.5)<br />
Abbildung 2.3.3.: Spannung <strong>und</strong> Strom beim Kondensator<br />
Für eine sinusförmige Spannung u u $ = sinωt<br />
ergibt sich<br />
c<br />
d<br />
i ( ˆsin ) ˆ<br />
c = C u ωt = Cωucosω t<br />
(2.3.6)<br />
dt<br />
Mit der mathematischen Beziehung cosωt = sin ( ωt+ π / 2) ergibt sich abschließend<br />
i = Cω u$ sin( ωt+ π / 2)<br />
c<br />
(2.3.7)<br />
Wenn der Spannungszeiger U auf der positiven reellen Achse liegt, weist der Stromzeiger I<br />
in die Richtung der positiven imaginären Achse.<br />
Zeigerdarstellung: Der Strom i eilt der Spannung u um + 90°<br />
voraus. In der Zeigerdar-<br />
c c<br />
stellung entspricht dieses einer Multiplikation mit + j<br />
I = jωCU (2.3.8)<br />
Blindleitwert: Wir führen den kapazitiven Blindleitwert ein (analog zu I = GU )<br />
<strong>und</strong> erhalten damit (analog zu U = RI )<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
B C ω = (2.3.9)<br />
c<br />
I I I<br />
U = =− j =− j = jI<br />
X c<br />
(2.3.10)<br />
jB B ω C<br />
c c<br />
Seite 54
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Blindwiderstand: Damit erhalten wir den Betrag des kapazitiven Blindwiderstands zu<br />
X<br />
c<br />
1 1<br />
= = (2.3.11)<br />
ω C B<br />
Bemerkung: Blindwiderstand c X <strong>und</strong> Blindleitwert B c sind eine Funktion der Kreisfrequenz<br />
ω (siehe Abb. 2.3.4).<br />
Abbildung 2.3.4.: Phasenwinkel <strong>und</strong> Frequenzgang des kapazitiven Blindleitwerts <strong>und</strong> Blindwiderstands<br />
Der Leitwert wächst proportional zur Kreisfrequenz von Null an; der Widerstand geht von<br />
sehr großen negativen Werten aus gegen Null. Die Phasenwinkel ϕ B <strong>und</strong> ϕ X zwischen Strom<br />
<strong>und</strong> Spannung sind konstant, d.h. keine Funktion der Kreisfrequenz.<br />
{ Z} { Z}<br />
( ϕ = arctan(Im /Re ))<br />
Leistung: Jeweils nach 90° ist entweder i oder u Null, so dass dann auch die Leistung Null<br />
wird. Der Verlauf der Leistungsschwingung ist in (Abb. 2.3.5) dargestellt.<br />
0 bis T/4: Der Kondensator wird vom Generator aufgeladen mit der <strong>Energie</strong><br />
c<br />
$ 2 1<br />
W = Cu<br />
(2.3.12)<br />
2<br />
T/4 bis T/2: Der Kondensator entlädt die eben aufgenommene <strong>Energie</strong> in den Generator<br />
zurück.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 55
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Abbildung 2.3.5.: Kapazitive Blindleistung beim Kondensator<br />
T/2 bis 3T/4: Der Generator liefert die <strong>Energie</strong> bei umgekehrtem Vorzeichen von Strom <strong>und</strong><br />
Spannung.<br />
3T/4 bis T: Die <strong>Energie</strong> fließt wieder in den Generator zurück.<br />
Ergebnis: Beim idealen Kondensator geht keine <strong>Energie</strong> verloren (als Wärme oder mechani-<br />
sche <strong>Energie</strong>), sondern sie pendelt zwischen Generator <strong>und</strong> Kondensator hin <strong>und</strong> her.<br />
Wirkleistung: Die Wirkleistung beim Kondensator ist damit<br />
P = 0<br />
(2.3.13)<br />
Blindleistung: Man definiert eine kapazitive Blindleistung zu ( ϕ = 90 ° , X 〈 0)<br />
2 2<br />
c c<br />
Q = U I = U / X = I Xc<br />
〈 0<br />
(2.3.14)<br />
Die Einheit der Blindleistung ist “Voltampere reactice“ (Var), zur Unterscheidung von der<br />
Wirkleistung, die die Einheit Watt hat.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
c<br />
Seite 56
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
2.3.3 Spule<br />
Strom: Bei der Spule (siehe Abb. 2.3.6) setzen wir aufgr<strong>und</strong> der einfachen mathematischen<br />
Behandlung einen kosinusförmigen Strom voraus<br />
Spannung: Wir erhalten die Spannung nach<br />
i =− icosωt $ (2.3.15)<br />
L<br />
Abbildung 2.3.6.: Spannung <strong>und</strong> Strom bei der Spule<br />
di d<br />
uL= L = L ( −$<br />
icos ωt)<br />
dt dt<br />
=Lω$ isinωt = Lω$ icos( ωt−π / 2)<br />
= u$ sin ωt = u$<br />
cos( ωt- π/2)<br />
(2.3.16)<br />
Wenn der Spannungszeiger U auf der positiven reellen Achse liegt, weist der Stromzeiger I<br />
in die Richtung der negativen imaginären Achse.<br />
Zeigerdarstellung: Die Spannung uL eilt dem Strom i L um + 90°<br />
vor (Negative Amplitude<br />
d.h. − 180°<br />
<strong>und</strong> − 90°<br />
Phasenwinkel).<br />
In der Zeigerdarstellung entspricht dieses einer Multiplikation mit + j<br />
U = jωLI (2.3.17)<br />
Blindwiderstand: Wir führen den Betrag des induktiven Blindwiderstands<br />
ein <strong>und</strong> erhalten damit<br />
X L ω = (2.3.18)<br />
L<br />
U U U<br />
I = =− j =− j = jU B L<br />
(2.3.19)<br />
jX X ωL<br />
L L<br />
Blindleitwert: Damit erhalten wir den Betrag des induktiven Blindleitwerts zu<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
B<br />
L<br />
1 1<br />
= = (2.3.20)<br />
ωL<br />
X<br />
L<br />
Seite 57
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Bemerkung: Blindwiderstand C X <strong>und</strong> Blindleitwert B C sind auch hier entsprechend<br />
(Abb. 2.3.7 ) eine Funktion der Kreisfrequenz ω .<br />
Der Widerstand wächst proportional zur Kreisfrequenz von Null an. Der Leitwert geht von<br />
sehr großen negativen Werten aus gegen Null. Die Phasenwinkel ϕ B <strong>und</strong> ϕ X zwischen Strom<br />
<strong>und</strong> Spannung sind konstant, d.h. keine Funktion der Kreisfrequenz.<br />
Abbildung 2.3.7.: Phasenwinkel <strong>und</strong> Frequenzgang des induktiven Blindleitwerts <strong>und</strong> Blindwiderstands<br />
Leistung: Jeweils nach 90° ist entweder i oder u Null, so dass dann auch die Leistung Null<br />
wird. (Siehe Abb.2.3.8, analog zum Kondensator).<br />
T/4 bis T/2: Die Spule wird vom Generator aufgeladen mit der <strong>Energie</strong><br />
1 2<br />
W = L$<br />
i (2.3.21)<br />
2<br />
T/2 bis 3T/4: Die Spule entlädt die eben aufgenommene <strong>Energie</strong> in den Generator zurück.<br />
3T/4 bis T: Der Generator liefert die <strong>Energie</strong> bei umgekehrtem Vorzeichen von Strom <strong>und</strong><br />
Spannung.<br />
T bis 5T/4: Die <strong>Energie</strong> fließt wieder in den Generator zurück.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 58
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Abbildung 2.3.8.: Induktive Blindleistung bei der Spule<br />
Ergebnis: Auch bei der idealen Spule geht keine <strong>Energie</strong> verloren, sondern sie pendelt<br />
zwischen Generator <strong>und</strong> Induktivität hin <strong>und</strong> her.<br />
Wirkleistung: Die Wirkleistung bei der Spule ist damit<br />
P = 0<br />
(2.3.22)<br />
Blindleistung: Man definiert eine induktive Blindleistung zu ( ϕ = − 90 ° , X 〉 0)<br />
2 2<br />
L L<br />
Die Einheit der Blindleistung ist “Voltampere reactice“ (Var).<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Q = U I = U / X = I XL<br />
〉 0<br />
(2.3.23)<br />
L<br />
Seite 59
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
2.3.4 Leistungsbegriffe in komplexer Darstellung<br />
Betrachtet wird ein allgemeiner linearer Zweipol von beliebigem inneren Aufbau (Abb.2.4.1).<br />
An seinen Klemmen liege die zeitharmonische Spannung u( t ) <strong>und</strong> es fließe der Strom i( t )<br />
von der Form:<br />
Abbildung 2.4.1.: Strom <strong>und</strong> Spannung an den Klemmen eines Zweipols<br />
jϕu jωt jωt { } { }<br />
ut () = uˆ⋅ cos( ωt+ ϕ ) = Reue ˆ e = ReUe u<br />
jϕi jωt jωt { } { }<br />
(2.4.1)<br />
it () = iˆ⋅ cos( ωt+ ϕ ) = Reie ˆ e = ReIe<br />
(2.4.2)<br />
i<br />
Dabei wird ein Verbraucherzählpfeilsystem angenommen. Die momentane Leistung p( t )<br />
ist dann:<br />
Mit dem Additionstheorem<br />
wird daraus<br />
p() t = u() t ⋅ i() t<br />
= uˆ⋅iˆ⋅ cos( ωt + ϕ ) ⋅ cos( ωt<br />
+ ϕ )<br />
u i<br />
(2..4.3)<br />
1<br />
cos( x) ⋅ cos( y) = ( cos( x− y) + cos( x+<br />
y ) )<br />
(2.4.4)<br />
2<br />
1 ˆ<br />
2<br />
pt () = uˆ ⋅i⋅ cos( ϕ − ϕ ) + cos( 2ωt<br />
+ ϕ + )<br />
⎡ ϕ ⎤<br />
(2.4.5)<br />
⎣ u i u i ⎦<br />
Entsprechend den Zählrichtungen von u( t ) <strong>und</strong> i( t ) nimmt der Zweipol im Fall pt ( ) 〉 0<br />
Leistung auf, im Fall pt ( ) 〈 0 gibt er Leistung ab.<br />
Wir schreiben den Term cos(2 ωt + ϕ + ϕ ) in der Form<br />
Mit dem Additionstheorem<br />
wird daraus<br />
u i<br />
( ( ) ( ) )<br />
cos(2 ωt + ϕ + ϕ ) = cos 2 ωt+ ϕ − ϕ − ϕ<br />
(2.4.6)<br />
u i u u i<br />
cos( x − y) = cos x⋅ cos y+ sin x⋅<br />
sin y<br />
(2.4.7)<br />
cos(2 ωt + ϕ + ϕ ) = cos2( ωt+ ϕ )cos( ϕ − ϕ ) + sin 2( ωt+ ϕ )sin( ϕ − ϕ ) (2.4.8)<br />
u i u u i u u i<br />
<strong>und</strong> nun können wir damit p( t ) schreiben als:<br />
{ ( ( ω ϕu) ) ( ϕu ϕi) ( ω ϕu) ( ϕu ϕi<br />
}<br />
1<br />
pt ( ) = uˆ ⋅iˆ⋅ 1+ cos2 t+ cos − + sin 2 t + sin − ) (2.4.9)<br />
2<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 60
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Offenbar besitzt der Term (1 + cos 2( ωt + ϕ )) den Mittelwert 1 <strong>und</strong> der Term (sin 2( ωt + ϕ ))<br />
u<br />
den Mittelwert 0. Man bezeichnet die Leistung, die zeitlich im Mittel vom Zweipol auf-<br />
genommen wird, als Wirkleistung P . Dem gegenüber steht ein Anteil, der im zeitlichen<br />
Mittel 0 ist, also eine Leistung, die vom Zweipol aufgenommen <strong>und</strong> zu anderen Zeiten wieder<br />
abgegeben wird. Diesen Anteil bezeichnet man als Blindleistung Q <strong>und</strong> man schreibt<br />
1<br />
P = p() t = uˆ⋅iˆ⋅cos( ϕu − ϕi)<br />
= ueff ⋅ieff ⋅cos( ϕu −ϕ<br />
i)<br />
(2.4.10)<br />
2<br />
1<br />
Q = uˆ⋅iˆ⋅sin( ϕu − ϕi) = ueff ⋅ieff ⋅sin( ϕu<br />
−ϕi)<br />
2<br />
Mit der Zerlegung(Gl. 2.4.10, 11) in Wirk- <strong>und</strong> Blindleistung kann die Momentanleistung<br />
(Gl. 2.4.9) auch geschrieben werden als<br />
u<br />
u<br />
(2.4.11)<br />
pt () = P⋅ (1+ cos2( ωt+ ϕ )) + Q⋅ sin2( ωt+ϕ<br />
)<br />
(2.4.12)<br />
In dieser Form erkennt man die Bedeutung der Wirkleistung P als den zeitlichen Mittelwert<br />
der Momentanleistung sowie die Blindleistung Q als die Amplitude des mittelwertfreien<br />
<strong>und</strong> zeitlich schwankenden Anteils der Momentanleistung p( t ) .<br />
In (Abb. 2.4.2) sind beispielhaft die Funktion ut ( ), it ( ), pt ( ) sowie der zeitliche Mittelwert<br />
o<br />
von p( t ) <strong>für</strong> ϕ − ϕ = 60 dargestellt.<br />
u i<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Abbildung (2.4.2) Spannung, Strom <strong>und</strong> Momentanleistung <strong>für</strong><br />
u<br />
ϕu − ϕi<br />
=<br />
60<br />
o<br />
Seite 61
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Zerlegen wir den Strom in (Abb.2.4.3) in einen Anteil, der mit u( t ) in Phase ist <strong>und</strong> in einem<br />
Anteil, der mit u( t ) um π /2 nacheilt, so erhalten wir zwei Stromkomponenten:<br />
I wirk <strong>und</strong> I blind .<br />
Unter Verwendung der komplexen Schreibweise können wir die komplexe Scheinleistung<br />
1 1<br />
S P jQ U I uˆiˆe 2 2<br />
definieren, so dass P = Re{<br />
S } <strong>und</strong> = Im{<br />
}<br />
j(<br />
ϕu ϕi)<br />
−<br />
∗<br />
= + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (2.4.13)<br />
Q S ist.<br />
Es ist zu beachten, dass der konjugiert komplexe Strom <strong>für</strong> die Berechnung genutzt werden<br />
muss.<br />
Abbildung (2.4.3) Zerlegung des Stromes in einen Wirk- <strong>und</strong> einen Blindanteil<br />
Jeder Zweipol kann an seinen Klemmen durch seine Impedanz Z bzw. durch seine<br />
Admittanz Y = 1/ Z beschrieben werden. Verwendet man die Zusammenhänge U = Z ⋅I<br />
∗ ∗ ∗<br />
<strong>und</strong> I = Y ⋅U<br />
, so ergeben sich aus (Gl. 2.4.13) die Formeln <strong>für</strong> Wirk- <strong>und</strong> Blindleistung.<br />
2 2<br />
1 ∗ 1 ˆ 1 ∗<br />
S = U ⋅ I = i ⋅ Z = uˆ⋅ Y<br />
(2.4.14)<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
⎧1 ∗⎫<br />
1 1<br />
P = Re⎨ U ⋅ I ⎬=<br />
iˆ⋅ Re{ Z} = uˆ⋅Re{<br />
Y }<br />
(2.4.15)<br />
⎩2 ⎭ 2 2<br />
2 2<br />
⎧1 ∗⎫<br />
1 1<br />
Q = Im ⎨ U ⋅ I ⎬=<br />
iˆ⋅ Im{ Z} =− uˆ⋅Im{<br />
Y }<br />
(2.4.16)<br />
⎩2 ⎭ 2 2<br />
Die Definition (Gl.2.4.13) beinhaltet die Konvention, dass induktive Blindleistung positiv <strong>und</strong><br />
kapazitive Blindleistung negativ gezählt wird.<br />
Der Betrag der Scheinleistung errechnet sich mit:<br />
ˆ<br />
2 2 uˆ i<br />
S = P + Q = ⋅ = ueff ⋅ ieff<br />
(2.4.17)<br />
2 2<br />
Sie ist das Produkt der Effektivwerte von Spannung <strong>und</strong> Strom.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 62
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
An dieser Stelle sei betont, dass die Beträge von komplexen Zeigern in der Hochfrequenz-<br />
technik stets Scheitelwerte sind, während im Bereich der <strong>Energie</strong>technik üblicherweise mit<br />
Effektivwerten gerechnet wird.<br />
Einheit: Zur besseren Unterscheidung der Leistungsarten erhalten diese unterschiedliche<br />
Massbezeichnungen: [ P] = W (Watt), [ ]<br />
reactive).<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
S V<br />
= A (Voltampere) <strong>und</strong> [ ]<br />
Q = Var<br />
(Voltampere<br />
Seite 63
Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik<br />
Literaturverzeichnis:<br />
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Gleichstrom, Band 2: Wechselstrom. Oldenbourg Verlag, München, 1992.<br />
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Verlag, München Wien, 1982.<br />
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<strong>Energie</strong>technik, Band 2: Nachrichtentechnik. Oldenbourg Verlag, München, 1992.<br />
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<strong>Berlin</strong>; Offenbach: vde-verlag, 1992 (VDE-Schriftenreihe; 32)<br />
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Alfred Hüthig Verlag GmbH Heidelberg, (1985 <strong>und</strong> 1986.<br />
11. http://www.sidiblume.de/info-rom/zzz/norm0207.htm<br />
12. MOELLER/FRICKE: Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik B.G Teubner-Verlag,<br />
Stuttgart, 1986.<br />
13. U. TIETZE. CH. SCHENK: Halbleiterschaltungstechnik Springer- Verlag <strong>Berlin</strong>,<br />
Heidelberg, New York, 1993 .<br />
14. http://www.hfs.ei.tum.de/ext/d04/leistung.pdf.<br />
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16. UNBEHAUEN, R.: Gr<strong>und</strong>lagen der Elektrotechnik 1.(4. Aufl.): <strong>Berlin</strong>, Springer,1994.<br />
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Verlag der Wissenschaften, 1993.<br />
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch<br />
Seite 64