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procedimientos son asintóticamente equivalentes en el sentido de que si fijamos N i = 1,
∀i , entonces ambas reglas proporcionarán los mismos resultados conforme n→∞.
Finalmente señalar que una forma útil de inspeccionar visualmente los quantiles
consiste en dibujar la función de distribución acumulativa empírica de probabilidad
(Mood, Graybill y Boes (1974), p.-264), es decir un gráfico-XY de F
s
Σ s
1
p ( )
frente x (s) ,
=
i=
i
s = 1,2,...,n, en el caso ponderado, o de s n frente x (s), s = 1,2,...,n, en el caso simple.
Volveremos sobre esta función en la sección siguiente, cuando consideremos
explícitamente el procedimiento de inferir a partir de una muestra la forma de φ(x).
Asociados a los quantiles podemos definir medidas adicionales de dispersión, los
rangos inter-quantílicos, cuasi-rangos o rangos de orden p,
RANGO DE ORDEN p: R( ξ ) = ξ1 −ξ
, 0 ≤ p<
0.
5 (12)
p − p p
y medidas adicionales de posición, los medios-rangos de orden p,
ξp
+ ξ
− p
MEDIO-RANGO DE ORDEN p: Mid − R( ξ
p
) =
1
, 0 ≤ p < 0.
5 (13)
2
Obsérvese que para p = 0 obtenemos, R(ξ 0.0 ) = R(x) y Mid−R(ξ 0.0 ) = Mid−R(x).
R(ξ .25 ) es conocido como el rango inter-cuartílico, una medida de dispersión muy
popular como alternativa a la desviación típica y en la definición de observaciones atípicas
(outliers). Para una distribución simétrica todos medios-rangos de orden p deben coincidir
y ser igual a la mediana que a su vez debe ser igual a la media, de esta forma estos
estadísticos pueden proporcionarnos información muy útil acerca de la simetría de la
distribución y en caso de ser asimétrica sobre la forma de dicha asimetría 33 .
33 Idénticas medidas adicionales de posición y dispersión podrían ser definidas a partir del cálculo de
sucesivas medianas de las observaciones (Mills (1990), p.-21-26).
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