MatheAbi2018 mit CR

62 Geometrie - Lineare Abhängigkeit, lineare Gleichungssysteme
3.2 Lineare Abhängigkeit, lineare Gleichungssysteme
Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren durch Addition beliebiger
Vielfacher der anderen Vektoren darstellen lässt:
r 1 ∙ a⃗ 1 + r 2 ∙ a⃗ 2 + … + r n−1 ∙ a⃗ n−1 = a⃗ n
Diese Gleichung lässt sich als lineares Gleichungssystem schreiben:
a 1,1 a 2,1
a n−1,1 a n,1
⟹ r 1 ∙ ( ⋮ ) + r 2 ∙ ( ⋮ ) + … + r n−1 ∙ ( ⋮ ) = ( ⋮ )
a 1,n a 2,n a n−1,n a n,n
⟹
r 1 ∙ a 1,1 + r 2 ∙ a 2,1 + … + r n−1 ∙ a n−1,1 = a n,1
r 1 ∙ a 1,2 + r 2 ∙ a 2,2 + … + r n−1 ∙ a n−1,2 = a n,2
⋮
r 1 ∙ a 1,n + r 2 ∙ a 2,n + … + r n−1 ∙ a n−1,n = a n,n
Falls sich dieses Gleichungssystem (entweder mit einer oder unendlichen vielen
Lösungen) lösen lässt, sind die Vektoren a⃗ 1 , a⃗⃗ 2 , … , a⃗ n−1 und a n linear abhängig. Bei
keiner gültigen Lösung sind die Vektoren linear unabhängig.
Zwei Vektoren
Zwei Vektoren sind linear abhängig,
wenn sich der eine Vektor durch ein
Vielfaches des anderen Vektors
darstellen lässt. In diesem Fall sind sie
auch parallel zueinander:
r 1 ∙ a⃗ 1 = a⃗ 2
Drei Vektoren
Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn
sie in einer Ebene liegen:
r 1 ∙ a⃗ 1 + r 2 ∙ a⃗ 2 = a⃗ 3