MatheAbi2018 mit CR

82 Geometrie - Gegenseitige Lage
Schnittgerade zweier Ebenen
Falls zwei Ebenen eine gemeinsame
Schnittgerade besitzen gilt für diese
Schnittgerade:
E 1 = E 2
E 1
E 2
g
Die Schnittgerade zweier Ebenen kann durch das Gleichsetzten der gegebenen Ebenen
berechnet werden. Hierdurch ergibt sich ein Gleichungssystem, welches mehr Variablen
als Gleichungen besitzt und deshalb nicht eindeutig lösbar ist. Zur Lösung wird daher für
eine der Variablen (z.B. x 1 , x 2 oder x 3 ) ein Parameter (z.B. t) gewählt, wodurch sich die
Gleichung der Gerade ergibt.
Beispiel:
1 4
Gegeben sind die Ebenen E: (x⃗ − ( 2)) ∙ ( −1) = 0 und F: x 2 + 2x 3 = 8. Berechnen Sie
1 2
eine Gleichung der Schnittgerade.
Durch Umformung der Ebene E in die Koordinatenform ergibt sich folgendes
Gleichungssystem:
I 4x 1 − x 2 + 2x 3 = 4
II x 2 + 2x 3 = 8
Dieses Gleichungssystem besitzt die drei Variablen x 1 , x 2 und x 3 aber nur zwei
Gleichungen und ist somit nicht eindeutig lösbar. Daher wird für die Variable x 3 ein
Parameter gewählt: x 3 = t. Hierdurch erhält man:
I 4x 1 − x 2 + 2t = 4
II x 2 + 2t = 8
Aus Gleichung II ergibt sich eine Lösung für x 2 , die anschließend in Gleichung I
eingesetzt wird. Hierdurch erhält man:
x 1 = 3 − t
x 2 = 8 − 2t
x 3 = t