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3.1. DIE THEORIE DER PHOTOPRODUKTION VON PIONEN 15
Während der erste Summand den Fall identischer Anfangs– und Endzustände berücksichtigt,
beschreibt der zweite Summand in S fi die eigentliche Übergangswahrscheinlichkeit.
E , E , Ei, Ef bezeichnen die Gesamtenergien des Photons, des Pions sowie des ein–
und auslaufenden Nukleons. Die Energie– und Impulserhaltung wird durch die vierdimensionale
–Funktion gewährleistet.
Das Übergangsmatrixelement
Tfi = j fi (3.7)
ergibt sich aus dem Produkt des Polarisationsvektors des Photons und des Matrixelements
des hadronischen Übergangsstroms j fi, welches sich im Raum der Dirac–
Spinoren schreiben läßt als:
j fi = hu f (p f )� (q )jj ju i(p i)i: (3.8)
Hierbei bezeichnen u i(p i) und u f (p f ) die Spinoren des ein– und auslaufenden Nukleons,
(q ) das produzierte Pion und j den Stromoperator. Die intrinsischen Eigenschaften
des Pions müssen in der Struktur des hadronischen Übergangsstroms mitberücksichtigt
werden.
Nach dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichts wurde der Spin des Pions
bestimmt [Car 51]. Dafür maß man den Wirkungsquerschnitt für die Reaktion
p + p ! d + + sowie für die Umkehrreaktion + + d ! p + p und schloß auf den Spin
des Pions von J =0.
Anhand des strahlungsfreien Einfangs langsamer Pionen am Deuterium (siehe
z.B. [Per 90]) ; + d ! n + n läßt sich zeigen, daß das Pion eine dem Nukleon entgegengesetzte
Parität besitzen muß. Dem Nukleon wird per Definition eine positive Parität
zugeordnet. Somit handelt es sich beim Pion um ein pseudoskalares Teilchen mit
J P =0 ; .
Da bei der Pion–Photoproduktion das Photon an den Vektorstrom des Nukleons koppelt,
ist der hadronische Übergangsstrom unter Berücksichtigung der pseudoskalaren Natur
des Pions ein Pseudovektor. Mit den zur Verfügung stehenden Viererimpulsen k , q ,
p i, p f und den Dirac’schen –Matrizen sowie 5 lassen sich maximal acht unabhängige
pseudovektorielle Strukturen erzeugen [Bal 61]. Im Produkt mit dem Polarisationsvektor
des Photons erhält man hieraus acht linear unabhängige Lorentzinvarianten Mj, die
als Basis einer Entwicklung des Reaktionsmatrixelements dienen. Dieses pseudoskalare
Matrixelement läßt sich dann schreiben als:
Tfi =
8X
j=1
huf (pf )jAj(s� t� u)Mjjui(p i)i: (3.9)
Dabei sind die skalaren Entwicklungskoeffizienten Aj, die man als invariante Amplituden
bezeichnet, Funktionen der kinematischen Variablen s, t und u, wodurch sie die Dynamik
des Prozesses beschreiben. Im bisher betrachteten Raum der Dirac–Spinoren nennt man
diese Koeffizienten auch Dirac–Amplituden.
Aufgrund der Stromerhaltung (k j = 0) ergeben sich für die acht Summanden aus
Gleichung 3.9 zwei zusätzliche Randbedingungen, so daß nur sechs Terme unabhängig