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18 KAPITEL 3. THEORETISCHE GRUNDLAGEN net. Daher empfiehlt es sich, Tfi weiter auszuwerten. Hierfür verwendet man die als Lösungen der freien Dirac–Gleichung ( ( p ; m N )u(p )=0) bekannten Dirac–Spinoren in der Form: u i(p i )= s Ei + mN 2m N i ~pi ~ Ei+mN i ! und u f (p f )= s Ef + mN 2m N f ~p f ~ Ef +mN f ! : (3.20) Die Pauli–Spinmatrizen ~ wirken auf die Pauli–Spinoren i�f. Letztere beschreiben die Spineinstellung des Nukleons in Anfangs– und Endzustand ( + 1 2 ; 1 2 = j"i =( 1 ) und 0 = j#i =( 0 1 )). In Verbindung mit den Lorentzinvarianten Mj, die von den Viererim- pulsen k , q , p i , p f, und der –Matrix 5 abhängen, gelingt es mit Hilfe dieser Dirac– Spinoren, das Matrixelement Tfi im wesentlichen auf eine (2 2)–Matrix F und die Pauli–Spinoren i�f zu reduzieren [CGLN 57]: T fi = 4X j=1 4 W huf (pf )jAj(s� t� u)Mjjui(p i)i = mN h fjFj ii : (3.21) Wählt man als Bezugssystem das N–Schwerpunktsystem (CMS), so ergeben sich aus den Impulsvektoren des Photons ~ k und des Pions ~q bzw. deren Einheitsvektoren ^ k = ~ k=j ~ kj und ^q = ~q=j~qj sowie der Photonpolarisation ~ und den Pauli–Matrizen ~ vier unabhängige Spinoperatoren, so daß sich F wie folgt entwickeln läßt: F = i~ ~ F 1 + ~ ^q~ ( ^ k ~) F 2 + i~ ^ k^q ~ F 3 + i~ ^q ^q ~ F 4 : (3.22) In dieser Entwicklung bezeichnet man die skalaren Funktionen Fj als CGLN– Amplituden. Diese hängen in der hier betrachteten Pion–Photoproduktion – analog zu den Dirac–Amplituden – von den zwei unabhängigen der insgesamt drei Mandelstam– Variablen ab. Im allgemeinen wird die äquivalente Abhängigkeit von der Gesamtenergie (W ) im Schwerpunktsystem und vom Pionproduktionswinkel ( CMS = ), ebenfalls im Schwerpunktsystem, betrachtet. Damit beschreiben die CGLN–Amplituden nun ihrerseits die Dynamik der Pion-Photoproduktion. Wegen der allgemeingültigen Drehimpulserhaltung bietet sich für die weitere Analyse eine Entwicklung der CGLN–Amplituden nach Eigenzuständen zu definiertem Drehimpuls, d.h. den Legendre–Polynomen P l(x = cos ) bzw. ihren Ableitungen, an. Dabei stellen die energieabhängigen Multipole M l (W )=fE l (W )� M l (W )g die zugehörigen Entwicklungskoeffizienten dar. Die CGLN–Amplituden ergeben sich im einzelnen zu: F 1 F 2 = = 1X l=0 1X l=1 h i 0 lMl+(W )+El+(W ) Pl+1(x) h i 0 + (l +1)Ml;(W )+El;(W ) Pl;1(x) � (3.23) h (l +1)Ml+(W )+lM l;(W ) i P 0 l (x) � (3.24)
3.1. DIE THEORIE DER PHOTOPRODUKTION VON PIONEN 19 F 3 F 4 = = 1X l=1 1X l=2 h i 00 El+(W ) ; Ml+(W ) Pl+1 (x) h i 00 + El;(W )+Ml;(W ) Pl;1(x) � (3.25) h Ml+(W ) ; El+(W ) ; Ml;(W ) ; El;(W ) 3.1.5 Multipolamplituden und Nukleonresonanzen i P 00 l (x) : (3.26) Die Darstellung in den Gleichungen 3.23–3.26 wird als Multipolentwicklung der CGLN– Amplituden bezeichnet. Durch die Separation der Winkelabhängigkeit gewinnt man über die Multipole M l (W )=fE l (W )� M l (W )g Zugang zu einzelnen Partialwellen. Sie beschreiben die Erzeugung von Pionen mit definiertem Drehimpuls l relativ zum Nukleon (l =0: s-Welle, l =1: p-Welle, l =2: d-Welle, usw). Mit E und M bezeichnet man den elektrischen bzw. den magnetischen Charakter des einlaufenden Photons. Die Größe des entsprechenden Multipols, d.h. die Multipolamplitude, gibt an, wie groß der Beitrag der einzelnen Partialwellen zum physikalischen Gesamtprozeß ist. Erfolgt die Pion–Photoproduktion über die Anregung einer Nukleonresonanz, so sind die bekannten Spin– und Isospinquantenzahlen sowie die Parität dieser Resonanz in der Multipolentwicklung mit zu berücksichtigen. Die wenigen Multipole, die den Quantenzahlen der betrachteten Resonanz Rechnung tragen, bezeichnet man als resonante Multipole. Für die Notation der Multipole bieten sich in der Pion–Photoproduktion zwei Darstellungen an. Zusammen mit den maßgebenden Quantenzahlen sind sie in Abbildung 3.2 angedeutet. el.-magn. Multipol- L S γ { ~ l =1 γ I, J P π S π l π =0 Pion- Multipolnotation: 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 000 111 000 111 J= l + π 1/2 E M notation: EL, ML l + l + π , 0000000000000 1111111111111 000000000000 111111111111 π 0000000000000 1111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000 1111111111111 000000000000 111111111111 0000000000000 1111111111111 N 000000000000 111111111111 N S =1/2 0000000000000 1111111111111 000000000000 111111111111 N S =1/2 0000000000000 1111111111111 000000000000 111111111111 N 0000000000000 1111111111111 000000000000 111111111111 Abbildung 3.2: Bahndrehimpulse und Spins in der Pion–Photoproduktion bei der Anregung einer Nukleonresonanz mit Isospin I, Spin J und Parität P . Im Eingangskanal werden die Multipole durch den Gesamtdrehimpuls des Photons L charakterisiert und im Ausgangskanal durch den Relativbahndrehimpuls des Pions, der zum festen Spin des Nukleons addiert oder davon subtrahiert wird: l .
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